Формула за ц. на описаната окръжност

[Румен Симеонов]

Нека $ABC$ е (неизроден) триъгълник с вътрешни ъгли $\alpha, \beta, \gamma$ съответно при върховете му $A, B, C$. Нека $T$ е произволна точка в пространството и с нейна помощ е построена точка $О$, за която е изпълнено:
$\vec{TO}=$
$\vec{TA}cos(\alpha)/2/sin(\beta)/sin(\gamma)+$
$\vec{TB}cos(\beta)/2/sin(\gamma)/sin(\alpha)+$
$\vec{TC}cos(\gamma)/2/sin(\alpha)/sin(\beta)$.
Използвайки вектори и скаларно произведение на вектори (а също и синусовата теорема и малко тригонометрия, лесно) докажете, че
$1=$
$cos(\alpha)/2/sin(\beta)/sin(\gamma)+$
$cos(\beta)/2/sin(\gamma)/sin(\alpha)+$
$cos(\gamma)/2/sin(\alpha)/sin(\beta)$,
което е равносилно на любопитното равенство:
$\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+sin(2\gamma)=4sin(\alpha)sin(\beta)sin(\gamma)$,
и докажете и, че, точката $O$ не зависи от това с помощта на коя точка $T$ е конструирана, както по-горе и, че $O$ е на разстояние $R$-- радиуса на описаната окръжност от всеки от върховете $A, B, C$ и, следователно, тя съвпада с центъра на описаната окръжност на триъгълника $ABC$. Впрочем, следва и, че
$\vec{OA}cos(\alpha)/2/sin(\beta)/sin(\gamma)+$
$\vec{OB}cos(\beta)/2/sin(\gamma)/sin(\alpha)+$
$\vec{OC}cos(\gamma)/2/sin(\alpha)/sin(\beta)=\vec{0}$.

Тази/тези задача/формули могат да се използват, например, заедно с формулите за ортоцентъра, за да се докаже теоремата на Хамилтън, според която отсечката от ортоцентъра $H$ към центъра на описаната окръжност $O$ се разделя от медицентъра $G$ в отношение 2:1, откъдето, впрочем, следва и, че $H, G, O$ лежат на една права (в този им ред, наричана права на Ойлер).

Ако сте виждали подобни твърдение/формула, които считате, че са равносилни или по-силни от дадената от мен тук формула за $\vec{TO}$, или поне са близки по някакав начин, то моля посочете, къде може да баде намерено и препишете тук точната му формулировка оттам. Аз го открих сам днес 23.07.2023г. и не бях и все още не съм виждал подобно твърдение/формула записани другаде буквално в същия удобен и полезен вид.