Доказателство на вектори

[Гост]

Ако някой може да ми помогне с тази задача(на тема свободни вектори и линейните действия с тях) :
Докажете, че точките, симетрични на дадена точка относно средите на страните
на произволен пространствен четириъгълник, са върхове на успоредник.

[Гост]

Нека даденият произволен пространствен четириъгълник е $ABCD$, а новополученият след симетричното преобразувание на точка $M$ да бъде $A_1B_1C_1D_1$

Имаме следните равенства:

$\vec{MA_1}=\vec{MA}+\vec{MB}$
$\vec{MB_1}=\vec{MB}+\vec{MC}$
$\vec{MC_1}=\vec{MC}+\vec{MD}$
$\vec{MD_1}=\vec{MD}+\vec{MA}$

За средата на единия диагонал получаваме $\frac{\vec{MA_1}+\vec{MC_1}}{2}=\frac{\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}}{2}$

А за средата на другия: $\frac{\vec{MB_1}+\vec{MD_1}}{2}=\frac{\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}+\vec{MA}}{2}$

Понеже получените вектори са равни, средите на диагоналите съвпадат. От свойство на успоредника виждаме, че $A_1B_1C_1D_1$ е успоредник.

[Гост]

A ще бъдете възможно да ми пратите чертеж?

[Гост]

A ще бъде ли възможно да ми пратите чертеж?

[peyo]

rotating_figure_optimized.gif (952.72 KiB) Прегледано 208 пъти

[Гост]

Благодаря много