Малко помощ за линейна (не)зависимост на вектори.

[Eraser]

Привет!

Трябва да установя дали следната с-ма от вектори е линейно (не)зависима.
Имам следното:
Ще ги означа с a, b, c защото няма такива с скоби за два реда, а не знам как да ги запиша по друг начин.
a b b
(1 0) (1 0) (0 1)
(0 0) (0 -1) (2 0)

Мисълта ми е такава, може ли a, b, c да ги представя като детерминанти, да изчисля техните стойности, да събера получените стойности и от получения резултат да разбера с-мата от вектори дали е линейно (не)зависима?

[nikko]

Мисълта ми е такава, може ли a, b, c да ги представя като детерминанти, да изчисля техните стойности, да събера получените стойности и от получения резултат да разбера с-мата от вектори дали е линейно (не)зависима?

Не, не можеш. Няма абсолютно никаква връзка между детерминанта на матрица и линейна зависимост на матрици.

Нека [tex]A=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right),\ B=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right), \ C=\left(\begin{array}{cc}0&1\\2&0\end{array}\right).[/tex]
В случая разгледай произволна линейна комбинация на трите матрици, която комбинация да е нула:
[tex]aA+bB+cC=O[/tex] смяташ получената матрица според правилата за операции с матрици и приравняваш на матрицата [tex]O=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right)[/tex] като решиш получената система ще се получи единствено нулевото решение, т.е. матриците са линейно независими.

[ptj]

Един базис на това пространство е :
[tex]P1=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right),\ P2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right), \ P3=\left(\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right),\ P4=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right).[/tex]

Тогава всеки 3 вектора от него са линейно зависими.

П.П. Ранга на МЛНС е 4.

[nikko]

Един базис на това пространство е :
[tex]P1=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right),\ P2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right), \ P3=\left(\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right),\ P4=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right).[/tex]

Тогава всеки 3 вектора от него са линейно зависими.

П.П. Ранга на МЛНС е 4.

Я пак, аз мислех че всеки 5 са. А пък и тези трите са си линейно независими.
Лошо, Седларов. Лошо!

[ptj]

Хах, голяма глупост съм написал.

Иначе като се изразят [tex]A,B,C[/tex] чрез [tex]P1,P2,P3,P4[/tex] и ранга на матрицата от коефициентитe (добавяме един нулев ред за да е квадратна) е 3, то [tex]A,B,C[/tex] са линейно независими.

[Eraser]

Мерси

[ptj]

Написаното се основа на теоремата, че матрицата на прехода за едно линейно преобразувание от един базис към друг е неособена (т.е. с ненулева детерминанта).