разстояние между две прави

[georgiev12]

Да се намери разстоянието между тези две прави.

l : x=s y=2s+1 z=3-2s
m : x=3-t y=3t z=3-2t


Благодаря предварително !

[georgiev12]

Получих 14/405 .
Някой друг ?

[kerry]

[tex]\frac{2\sqrt{5}}{15}[/tex]

Правата l лежи в равнината 2x+4y+5z-19=0

Правата m лежи в равнината 2x+4y+5z-21=0

Двете равнини са успоредни.

Разстоянието между двете прави е точно колкото разстоянието между двете равнини.

[tex]\frac{21-19}{\sqrt{2^2+4^2+5^2}}=\frac{2}{\sqrt{45}}=[/tex] горепосоченият отговор.

[Здравко 99]

И въпросът ми е как се определяравниня

[Здравко 99]

Аз го го смятам
Добре имате две успоредни прави в параметричен вид как мога да намеря разстоянието между тях

[Здравко 99]

Задачата е решена грешно

[Knowledge Greedy]

Задачата е решена грешно

Разбира се.

И въпросът ми е как се определя равнина

Да построим равнина [tex]\lambda[/tex], която съдържа [tex]l[/tex] и [tex]\lambda || m[/tex]

За целта даваме [tex]s=0 \rightarrow L(0,1,3[/tex])
Нова стойност [tex]s=1 \rightarrow L_2(1,3,1)[/tex]
Двете точки задават вектор [tex]\vec{ LL_2}(1,2,-2)[/tex], колинеарен на правата [tex]l[/tex]

Аналогично получаваме вектор [tex]\vec{ M_1M_2}(1,-3,2)[/tex], колинеарен на правата [tex]m[/tex]
Тези два вектори са компланарни на равнината [tex]\lambda[/tex] и тъй като точката [tex]L[/tex] е от тази равнина, за произволна друга точка [tex]P(x,y,z)[/tex] от нея, ще имаме

[tex]\vec{ OP}=\vec{ OL}+\vec{ LP}[/tex]

където [tex]\vec{ LP}=\alpha \vec{ LL_2}+\beta \vec{ M_1M_2}[/tex]
Това е векторно параметрично определяне. Следва изключване на параметрите [tex]\beta[/tex] и [tex]\alpha[/tex], и записване във вида [tex]Ax+By+Cz+D=0[/tex] - общо уравнение.
Има и други - примерно нормалното уравнение - през точка и перпендикулярен вектор [tex]A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0[/tex]

[peyo]

Да се намери разстоянието между тези две прави.
l : x=s y=2s+1 z=3-2s
m : x=3-t y=3t z=3-2t

Предполагам търсим най-малкото разстояние между правите. Тогава да направим функция на разстоянието и да и намерим минимума.

$R = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2} $
$R = \sqrt{(3-t - s)^2 + (3t- (2s+1))^2 + (3-2t - (3-2s))^2} $
$R = \sqrt{(3-t - s)^2 + (3t- (2s+1))^2 + (3-2t - (3-2s))^2} $
$R = \sqrt{9 s^{2} - 18 s t - 2 s + 14 t^{2} - 12 t + 10}$

И сега ще търсим минимум. Може да разкараме квадратния корен, за по-лесно.

$r = 9 s^{2} - 18 s t - 2 s + 14 t^{2} - 12 t + 10$

Да намерим двете производни по s и t :

$dr/ds = 18 s - 18 t - 2$
$dr/dt = - 18 s + 28 t - 12$

Да видим каквво ще стане ако се опитаме да ги преравним на 0 и ги решим като система:

$18 s - 18 t - 2 = 0$
$18 s + 28 t - 12= 0$

$(s= 68/45, t= 7/5)$

Супер. Сега да сложим тези стойности ввъвв формулата за R и ще получим:

0.298142396999972

Което сигурно е и верния отговор, защото е същото което и kerry е намерил по някакъв странен начин с равнини.