вписана сфера ту варна 2008

[Гост]

моля ако някой проявява интерес към задачата да ми помогне
Основата на пирамида е равнобедрен трапец с ъгъл 30° и височина √3 всички околни стени сключват с основата ъгли 60°търси се радиуса на вписаната сфера?

[L.e.o]

Нека О е центъра на вписаната в трапеца оръжност.
Нека Р е центъра на вписаната сфера.
M - върха на пирамидата с основа трапец (АВ || CD)
Ъгъла между равните ABM и АBCD e 60, но той се също толкова и между CDM и АBCD.
Тоест:
МО е перп. на ABCD.
Разтоянието от АB до О (АH1) е равно на разт. от О до СD (AH2), което е √3/2. (H1 - среда на AB, H2 - среда на CD)
Р лежи на МО.

Разглеждаме тр. MOH1
Разтоянието от Р до МН1 е равно на РО, което е радиуса на вписаната окръжност. Ъгъл РН1М = РН1О = 60/2 = 30
Демек: tg (PH1O) = r / OH1 => r = 1/2