Призма, пирамида

[Гост]

Здравейте,
Видях следните две задачи :
1)Основата на права призма е ромб с диагонали 6 см. и 8 см. .Околните стени са квадратни. Намерете обемът и лицето на повърхнината.


2) В правилна триъгълна пирамида височината е 4 см., а ъгълът между височината и околен ръб е 60 градуса намерете обемът и.

Бихте ли ми помогнали с решението?

[S.B.]

Темата е от 2013 година,но тъй като от тогава до сега няма промяна при призмите и пирамидите,считам,че решението ще е актуално:
Зад.1:Права призма с основа ромб и околни стени квадрати [tex]\rightarrow[/tex] че всички околни и основни ръбове ще са равни.Нека осн. и околните ръбове = a; Разглеждаме основата ABCD,която е ромб.AC = 8 и BD = 6; AC пресича BD в т.O.Те са взаимно перпендикулярни и се разполовяват.[tex]\triangle[/tex]AOB е правоъгълен,с катети AO = 4 и BO =3 АB = a По Питагор [tex]a^{2}[/tex] = [tex]3^{2}[/tex] + [tex]4^{2}[/tex];
От където a=5; [tex]S_{ABCD }[/tex] = [tex]\frac{АC . BD}{2}[/tex][tex]\rightarrow[/tex] [tex]S_{ABCD }[/tex] = 24
V = [tex]S_{ABCD }[/tex] . h = 24 . 5 = 120 [tex]см^{2}[/tex] (Използвах ,че h=a!)
S = [tex]S_{ок}[/tex] + 2 [tex]S_{ABCD }[/tex] = 4.a.h + 2.24 = 4.5.5 + 48 = 148[tex]см^{3}[/tex]


Зад.2:Правилна триъгълна пирамида ABCD,като т.D е върха.основата ABC e равностранен триъгълник със страна = a:
Нека CM[tex]\bot[/tex]AB като т.M лежи на AB
[tex]\frac{CM}{BC}[/tex] = sin60[tex]^\circ[/tex] или CM = BC . sin 60[tex]^\circ[/tex] окончателно CM = a.[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Построяваме равнина през CM и околният ръб CD и разглеждаме сечението MCD. DO[tex]\bot[/tex] CM ( това е височината на пирамидата )
Т.O лежи върху CM като т.О е медицентър в [tex]\triangle[/tex] ABC. Тогава CO = [tex]\frac{2}{3}[/tex] CM или CO=[tex]\frac{a.\sqrt{3}}{3}[/tex]
Разгл.[tex]\triangle[/tex]DOC,правоъгълен ,[tex]\angle[/tex]CDO = 60[tex]^\circ[/tex]( по условие).[tex]\frac{CO}{DO}[/tex] = tg60[tex]^\circ[/tex]
[tex]\frac{a\sqrt{3}}{3}[/tex] = 4.[tex]\sqrt{3}[/tex] от където a=12 ; [tex]S_{ABC }[/tex] =[tex]\frac{a^{2}.\sqrt{3}}{4}[/tex] = 36.[tex]\sqrt{3}[/tex]
V= [tex]\frac{1}{3}[/tex].36.[tex]\sqrt{3}[/tex].4 = 48[tex]\sqrt{3}[/tex]
Окончателно : V= 48[tex]\sqrt{3}[/tex] [tex]sm^{3}[/tex]