Кълбо и цилиндър

[WEBER]

От плътно стоманено кълбо с обем [tex]\sqrt{3} cm^3[/tex] e изрязан прав кръгов цилиндър с възможно най-голям обем. Да се намери този обем.

[Edward]

Нека R e радиусът на стоманеното кълбото, r и h - радиус и височина на произволно изрязан от него пр.кр. цилиндър.
Очевидно трябва да е изпълнено 0 < r < R и 0 < h < 2 R. Връзката между R, h и r се дава, чрез питагоровата теорема, т.е
[tex]R^{2 } = r^{2 }+ \frac{h^{2 }}{4 }[/tex], откъдето [tex]h= 2 \sqrt{R^{2 }-r^{2 }}[/tex].
Обема на цилиндър e [tex]V_{c } = \pi.r^{2 } .h[/tex] или [tex]V_{c } = 2. \pi.r^{2 } .\sqrt{R^{2 }-r^{2 }}[/tex].
Ще имаме максимален обем [tex]V_{c }[/tex] тогава, когато функцията [tex]\varphi(r)= r^{2 } .\sqrt{R^{2 }-r^{2 }}[/tex] приеме максимална стойност. Тя приема макс.ст, за тази ст-ст на r, за която [tex]\varphi'(r)=0[/tex]. След намирането на първата производна и известно опростяване се получава [tex]2 R^{2 }- 3 r^{2 }=0[/tex] и като изразим [tex]r= \sqrt{\frac{2}{ 3}}R[/tex].
За тази стойност [tex]r= \sqrt{\frac{2}{ 3}}R[/tex] обема [tex]V_{c }[/tex] е максимален.Като заместим, получаваме [tex]V_{c }=\frac{4}{ 3}. \pi.R^{3 }.\frac{\sqrt{3} }{3 }[/tex].
Но [tex]\frac{4}{ 3}. \pi.R^{3 }[/tex] е обема на кълбото, т.е [tex]\sqrt{3}[/tex] или окончателно, [tex]V_{c }=sqrt{3}.\frac{\sqrt{3} }{3 }=1[/tex]куб.см

[WEBER]

Благодаря много! Повече едва ли ще ми се опре такава задача.

[MMaster]

От плътно метално кълбо е изрязан прав кръгов цилиндър с възможно най-голямо лице на околната повърхнина. Да се намери отношението на обема на цилиндъра към обема на кълбото. ??? (ТУ-София, 14 юли 2008)
Отг. [tex]\frac{3\sqrt{2}}{8}[/tex]

[MMaster]

Най-накрая я реших тази задача. Трябва да се представи лицето като функция на радиуса на цилиндъра и да се търси първа и втора производна. Първата производна, приравнена на 0 дава само една точка, а втората производна се оказва отрицателна, което означава, че има един максимум и го достига точно в тази точка от първата производна. Оттам отношението на обемите е лесно.