Няколко задачи

[eli44]

Имам големи проблеми по математика ..... За това моля за обяснение и пълно решение на няколко задачи
1) Височината на цилиндър е 10, а радиусът на основата му е 5. Намерете лицето на сечението на цилиндъра с равнина, успоредна на оста му, на разстояние 3 от нея.
2) Околната повърхнина на цилиндър е S , а ъгълът между диагоналите на осното му сечение е 90 градуса. Намерете обема на цилиндъра.

[Knowledge Greedy]

Решение на задача 1:
Нека равнината на сечението е [tex]\lambda[/tex]. На чертежа сечението е в жълто.

Цилиндър и ....PNG (4.23 KiB) Прегледано 992 пъти

Тъй като цилиндърът е прав кръгов, то въпросното сечение ще е успоредник, с прав ъгъл (то е успоредно на оста, а тя е перпендикулярна на основата), значи правоъгълник. Едната му страна ще е точно височината на цилиндъра, а другата- хордата от основата - хордата от кръга, която е на разстояние 3 от центъра.
Разглеждаме основата на цилиндъра, тя е перпендикулярна на оста му, а следователно перпендикулярна и на [tex]\lambda[/tex]. Виж чертеж 2 - това е все едно поглед отгоре. (Виж втория чертеж)

Цилиндър основа.PNG (3.48 KiB) Прегледано 992 пъти

Разглеждаме [tex]\Delta AMO[/tex] -правоъгълен (защото разстоянието се взима под прав ъгъл, точката [tex]O[/tex] е оста на цилиндъра погледната отгоре, а отсечката [tex]AB[/tex] е правоъгълникът от сечението на равнината [tex]\lambda[/tex] - също погледнат отгоре). По питагорова теорема [tex]AM^{2}=5^{2}-3^{2}[/tex] , следователно [tex]AM^{2}=16[/tex] и [tex]AM=4[/tex] .
Тогава [tex]AB= 8[/tex] и лицето на сечението - правоъгълника [tex]ABCD[/tex] e [tex]8 \times 10=80[/tex].

Задача 2. Осното сечение на цилиндъра е правоъгълник (жълтото сечение от предишната задача, само си представи, че минава през центъра - т.е точката [tex]O[/tex] съвпада с точката [tex]M[/tex] и [tex]AB[/tex]се получава да е диаметър. На кой правоъгълник диагоналите [tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex] са взаимно перпендикулярни? На квадрата. Значи диаметърът [tex]AB[/tex] и височината [tex]BC[/tex] са равни. След като [tex]AB \times BC = S[/tex] по условие, следва, че [tex]AB =\sqrt{S} = BC[/tex]. Следователно радиусът на основата е [tex]R=\frac{1}{2 }AB= \frac{1}{2 }\sqrt{S}[/tex], то обемът [tex]V=\pi R^{2}H=\pi (\frac{1}{2 }\sqrt{S})^{2}\sqrt{S}[/tex].
Отговор: [tex]V=\frac{\pi }{ 4} S\sqrt{S}[/tex].

[eli44]

Много благодаря