Куб в пирамида

[abc]

В правилна триъгълна пирамида с височина h е вписан куб с дължина на ръба a. Да се намери обема на пирамидата.

[ева]

ABCD-правилна триъг. пирамида,MNPT[tex]M_{1 }[/tex][tex]N_{1 }[/tex][tex]P_{1 }[/tex][tex]T_{1 }[/tex]-куб,MN=a
Нека т.М,т.N лежат на АВ,т.Р и т.Т лежат на ВС и АС;AM=NB=х
MNPT-квадрат [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\triangle[/tex]АМТ е правоъг.и [tex]\angle[/tex]МТА=180[tex]^\circ[/tex]-60[tex]^\circ[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]=30[tex]^\circ[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] х=АМ=[tex]\frac{АТ}{2}[/tex] т.е.АТ=2х
от Питагорова Т[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]АМ^{2}[/tex]+[tex]МТ^{2}[/tex]=[tex]АТ^{2}[/tex] ;[tex]x^{2}[/tex]+[tex]а^{2}[/tex]=4[tex]x^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] х=[tex]\frac{а}{\sqrt{3}}[/tex] тогава АВ=а+2х=а+[tex]\frac{2а}{\sqrt{3}}[/tex]=[tex]\frac{а(2+\sqrt{3})}{\sqrt{3}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
В=[tex]\frac{(а(2+\sqrt{3}))^{2}\sqrt{3}}{4\sqrt{3}^{2}}[/tex]=[tex]\frac{а^{2}(12+7\sqrt{3)}}{12}[/tex]
V=[tex]\frac{Bh}{3}[/tex]=[tex]\frac{a^{2}(12+7\sqrt{3})h}{12.3}[/tex]=[tex]\frac{a^{2}h(12+7\sqrt{3})}{36}[/tex]

[ptj]

Eва,
Решението ти не се отнася за поставената задача.
Една триъгълна пирамида е правилна, когато основата е равностранен триъгълник, а околните и ръбове са равни.

Във всяка тригонометрична задача първата част винаги е правилния чертеж. Друг е въпроса дали той ще е на хартия, видим на екран или само в главата ти.

[ptj]

Вписан куб означава върховете му да лежат върху стените на пирамидата.
Куба има 8 върха, затова преди да пристъпим към решението на задачата трябва да определим къде точно ще се намират те:

I-ви сл.) Тъй като никой от двустенните ъгли за различните двойки равнини на пирамидата не е прав, то случая на съвпадането на връх на куба и пирамидата отпада.

II-ри сл.) Всяка от 4 стени на пирамидата да съдържа точно по 2 върха на куба.
- очевидно никой от тях няма да лежи на ръб на пирамидата (защо?)
- на една стена ще могат да лежат само съседни върхове на куба (защо?)

Ако построим произволна равнина пресичаща три от стените на куба, то ще получим триъгълно сечение. Според последното предположение измежду всички сечения съществува поне едно съдържащо 2 ребра на куба, лежащи върху 2 от страните на съответния триъгълник. Но ребрата на куба могат да са или успоредни или перпендикулярни.
Първото (успоредността) води до успоредност на страни в триъгълник (сечението), което очевидно е невъзможно.
Второто (перпендикулярността) води сечение правоъгълен триъгълник. Най-голям ъгъл за съответното триъгълно сечение се получава когато сечението е перпендикулярно на някой околен ръб, но даже и тогава той е по-малък от [tex]90^\circ[/tex] защото съответния двустенен ъгъл на равнини в пирамидата е по-малък,т.е. отново получихме противоречие.

III-ти сл.) (последен) 3 от върховете на куба лежат на една от стените на пирамидата.
Очевидно 4-тия връх от съответната основа на куба (определена от въпросните 3 върха) ще лежи в споменатата страна на пирамидата (защо).
Тук вече ще забележим, че правилните тела притежават определени видове симетрии, а една от тях ще използваме сега...

П.П. По принцип можех да почна веднага, като кажа къде точно в пирамидата ще се намират 8-те върха на куба, но подобно решение щеше да е непълно. За съжаление понякога авторите решения прескачат подобни обосновки.