тетраедър

[abc]

Всички ръбове на тетраедъра АВСD имат дължина 1. Точката М е среда на АВ, N е среда на ВС, P лежи на AD и AD:AP=4:3. Да се намери дължината на радиуса на сферата, минаваща през A, M, N и P.

[ptj]

K-среда на AD,

[tex]V_{ABCD}=\frac{1} { 12}\sqrt{2} a^3=\frac{\sqrt{2} }{ 12}[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{2} }{ 12}=V_{ABCD}=\frac{4}{3 }. V_{APCD}=\frac{3}{3 } .(2. V_{APMC})=\frac{8}{3 }.(2. V_{APMN})=\frac{16}{3 }.V_{APMN}[/tex]

[tex]V_{APMN}=\frac{\sqrt{2} }{64 }[/tex]

Формула на Крел: [tex]R=\frac{S(APxMN;AMxPN;ANxMP)}{6. V_{AMNP} }[/tex]

Числителя в горната дроб е лицето на триъгълник със страни съответно равни на произведенията на срещуположните ръбове на тетраедъра.

[tex]APxMN=\frac{3}{4 }.\frac{1}{2 } =\frac{3}{8 }[/tex]

Oт [tex]\Delta ANP[/tex] намираме [tex]NP=\frac{3}{4 }[/tex] (KN е ос-отсечка на AD и BC)

[tex]AMxPN=\frac{1}{2 } .\frac{3}{4 }=\frac{3}{8 }[/tex]

Oт [tex]\Delta AMP[/tex] намираме [tex]MP=\frac{\sqrt{7} }{4 }[/tex]

[tex]ANxMP=\frac{\sqrt{3}}{2 }.\frac{\sqrt{7} }{4 } =\frac{ \sqrt{21} }{8 }[/tex]

[tex]S(APxMN;AMxPN;ANxMP)=\frac{3\sqrt{35} }{256 }[/tex]

[tex]R=\frac{3\sqrt{35} }{256 }.\frac{64}{6\sqrt{2} }=\frac{\sqrt{70} }{16 }[/tex]≈0.5229