Пирамида

[Zarrie]

Основата ABCD На четириъгълната пирамида ABCDQ е квадрат със страна a. Околните стени QAB и QAD са перпендикулярни на равнината на основата, а околната стена QBC сключва с основата ъгъл 60°.Докажете, че в пирамидата може да се впише сфера.

[Knowledge Greedy]

Ако съобразим, че вписаната сфера ( ако съществува) се допира до двете стени [tex]ABQ[/tex] и [tex]ADQ[/tex] в центровете на техните вписани окръжности, задачата става лесна.

Ето едно топологично доказателство. Поставяме малка сфера [tex]\sigma_0[/tex] в тристенния ъгъл с връх [tex]A[/tex]. Нека тя се допира до стените му [tex]ABQ[/tex], [tex]ADQ[/tex] и [tex]ABCD[/tex]. Надуваме [tex]\sigma_0[/tex] като я държим допряна до стените му [tex]ABQ[/tex], [tex]ADQ[/tex] и [tex]ABCD[/tex](хлъзгаме я допряна до тези три страни). В един момент тя ще се допре и до една от двете оставащи стени [tex]BCQ[/tex] и [tex]DCQ[/tex].
Поради това, че пирамидата е симетрична относно равнината [tex]ABQ[/tex], то в момента в който надуващата се сфера достигне до положението [tex]\sigma[/tex] - допираща се до една от стените [tex]BCQ[/tex] или [tex]DCQ[/tex], тя ще се допре и до другата ( двете са симетрични относно [tex]ABQ[/tex]).
======================

[Zarrie]

Много благодаря

[Knowledge Greedy]

Разбира се и в предишното решение, и в това, някои подробности изпускам - като например това, че щом [tex]\angle ((ABCD); \,\ (CDQ) =60^\circ[/tex] , то[tex]\angle DCQ=60^\circ[/tex]. Също така по ТТП (теоремата за трите перпендикуляра) [tex]\angle CDQ=90^\circ[/tex], както и [tex]\angle CBQ=90^\circ[/tex]. Това е съществено за останалите разсъждения.

Втори начин.
Да разгледаме пространствена координатна система, чиито оси са [tex]AD^\rightarrow[/tex], [tex]AB^\rightarrow[/tex] и [tex]AQ^\rightarrow[/tex] - взаимно перпендикулярни по условие.
Ще докажем, че сферата [tex]\sigma[/tex] с радиус [tex]r=\frac{a(\sqrt{3}-1) }{2 }[/tex] и с център точката [tex]K\left (\frac{a(\sqrt{3}-1) }{2 } ; \,\ \frac {a(\sqrt{3}-1) }{2 } ; \,\ \frac{ a(\sqrt{3} -1)}{2 } \right )[/tex] се допира до всяка от стените [tex]ABQ[/tex], [tex]ADQ[/tex], [tex]ABCD[/tex], [tex]BCQ[/tex] и [tex]DCQ[/tex].
За първите три стени това е очевидно.

Обемът на пирамидата е [tex]V_{ABCDQ}=\frac{1}{3 }S_{ABCD}.QA=\frac{a^3\sqrt{3} }{3 }[/tex]
Ако се възползваме от това, че обемът на пирамидата [tex]ABCDQ[/tex] е сбор от обемите на пирамидите [tex]ABQK[/tex], [tex]ADQK[/tex], [tex]ABCDK[/tex], [tex]BCQK[/tex] и [tex]DCQK[/tex], доказателството ще стане и без чертеж - с формулата за обем на пирамида.
Разглеждаме ги с основи триъгълниците [tex]\Delta ABQ[/tex], [tex]\Delta ADQ[/tex], квадрата [tex]ABCD[/tex] и триъгълниците[tex]\Delta BCQ[/tex], [tex]\Delta DCQ[/tex].
Първите три имат равни височини - всяка по [tex]\frac {a(\sqrt{3}-1)}{2 }[/tex]. Нека височините на останалите две са по [tex]h[/tex].
Написваме равенството
[tex]V_{ABCDQ}=V_{ABQK}+V_{ADQK}+V_{ABCDK}+V_{BCQK}+V_{DCQK}[/tex],
с конкретните данни.
[tex]\frac{a^3\sqrt{3} }{3 }=2.\frac{a^2\sqrt{3} }{3 }.\frac{a(\sqrt{3}-1) }{2 }+a^2.\frac{a(\sqrt{3}-1) }{2 }+2.\frac {a^2 }{3 }h[/tex]
Решаваме полученото уравнение спрямо [tex]h[/tex] и виждаме, че [tex]h=\frac{a( \sqrt{3} -1)}{2 }[/tex] т.е. разстоянието от точката [tex]K[/tex] до последните две стени е същото - следователно сферата [tex]\sigma[/tex] се допира до всички стени на пирамидата.

[ptj]

Пирамидата е симетрична спрямо равнината [tex](ACQ)[/tex], a това означава че центъра на вписаната окръжност лежи в същата равнина.

Нека върху лъча [tex]\vec{AQ}[/tex] фиксираме точка [tex]S[/tex], така че [tex]AS=a[/tex].
Нека т.[tex]G[/tex] е медицентър в равностранния [tex]\Delta BDS[/tex].
Тогава за всяка т.[tex]M[/tex] от височината [tex]AG[/tex] в пирамидата [tex]BDSA[/tex], ще е на еднакво разстояние от околните стени, т.е. съответно от равнините [tex](ABD)[/tex],[tex](QAB)[/tex] и [tex](QAD)[/tex].

Очевидно вследствие симетрията т.[tex]M[/tex] ще равноотдалечена от равнините [tex](BCQ)[/tex] и [tex](CDQ)[/tex].

Нека сега ъгъла, който сключва [tex]BCQ[/tex] с основата [tex](ABCD)[/tex]е с големина [tex]0<\alpha<90[/tex]°.

Oчевидно от принцип за непрекъснатост следва, че съществува точка[tex]M'[/tex] лежаща на [tex]\vec{AG}[/tex], която е равнотдалечена от всички равнини на пирамидата [tex]ABCDQ[/tex]. При увеличаване и намаляне на [tex]\alpha[/tex] съответно расте или намаля радиуса на вписаната сфера.

П.П. Изпреварили са ме, но го пуснах заради някои допълнения...