Пирамида с променлива височина

[abc]

Две срещуположни стени на пирамида с основа правоъгълник са еднакви равностранни триъгълници с дължина на страната 2а. Пирамидата има променлива височина х. Да се определи обемът на пирамидата V(x) и най-голямата му стойност.

[ptj]

Ako [tex]0<\varphi<\frac{\pi }{2 }[/tex] e ъгъла между апотемата (височината в равностранния триъгълник) и основата, то дължината на втората страна на основата е [tex]b=2\frac{2a\sqrt{3} }{2 }cos\varphi=2a\sqrt{3}cos\varphi[/tex] ,
a височината в пирамидата е [tex]x=a\sqrt{3}sin\varphi[/tex].

[tex]V=\frac{2a.b.x}{3 }=4a^3sin\varphi.cos\varphi[/tex] .

[tex]\sqrt{\frac{sin^2\varphi +cos^2\varphi }{2 }}\ge\sqrt{sin\varphi.cos\varphi }[/tex] (неравенство между средно квадратично и средно геометрично)

Mаксимума на обема e [tex]V=2a^3[/tex] и се достига при [tex]sin\varphi=cos\varphi=\frac{\sqrt{2} }{2 }[/tex], a съответно [tex]x=a\sqrt{3}sin\varphi=\frac{a\sqrt{6} }{ 2}[/tex].

[abc]

Защо максимума на обема е 2а^3?

[ptj]

[tex]sin\varphi .cos\varphi \le \frac{1}{2 }[/tex]