Обем на пирамида

[abc]

За пирамидата SABC е дадено АВ= АС= SB= SC, BC=SA. Лицето на триъгъюника АВС е равно на l. При какъв ъгъл ВАС обемът на пирамидата е най-голям?

[ptj]

Максимума е [tex]V=\frac{l\sqrt{2l}}{3 }[/tex] и се достига при прав ъгъл.

Доказателството е елементарно с метод на непрекъснатост.

[Zarrie]

ptj, елементарно за Вас и елементарно за мен са две различни неща. Вземайте субективността като немаловажен фактор

[Knowledge Greedy]

Максимумът е [tex]V=\frac{l\sqrt{2l}}{3 }[/tex] и се достига при прав ъгъл. ...

ptj, нещо не мога да получа твоя резултат. Намирам, че максимумът на обема ще бъде достигнат при [tex]cos\alpha =\frac{11}{15 }[/tex] и от снощи не мога да открия грешката си, ако греша .

[monika_at]

Не се карайте Аз докарах 60 градуса и след малко ще пусна решение с чертеж

[ptj]

[tex]BC=a, AC=b, \angle BAC=\alpha[/tex]

[tex]l=S_{\Delta ABC}=\frac{b^2sin\alpha}{2}[/tex]

[tex]b=\sqrt{\frac{2l}{sin\alpha } }[/tex]

[tex]a=2(b.sin{\frac{\alpha }{2 }})=2\sqrt{l.tg{\frac{\alpha }{2 } } }[/tex]

[tex]h=a.sin\varphi[/tex]

[tex]cos\varphi.cos(\frac{\alpha }{2 })=cos(\frac{\pi}{2 }-\frac{\alpha}{2 })=sin(\frac{\alpha }{2 })[/tex]

[tex]cos\varphi=tg{\frac{\alpha }{2 } }[/tex]

[tex]sin\varphi =\sqrt{1-tg^2{\frac{\alpha }{2 } }}[/tex]

[tex]h=2\sqrt{l.tg{\frac{\alpha }{2 } } }\sqrt{1-tg^2{\frac{\alpha }{2 } }}[/tex]
...




П.П. При [tex]\alpha=\frac{\pi }{2 }[/tex] обема се нулира. Не бях съобразил кой ъгъл къде се намира.

[monika_at]

Бъркаш с изразяването на а. Тангенсът е под корен.

[monika_at]

a1.png (22.53 KiB) Прегледано 622 пъти

От [tex]BS=CS=>BH=CH=>H\in S_{BC}[/tex]. Означаваме [tex]\angle BAC=\alpha =>\angle ACS=\alpha =>\angle SAC=90^\circ-\frac{\alpha }{ 2}[/tex]. Означаваме [tex]\angle SAH=\varphi[/tex]

От теоремата за трите косинуса, приложена за [tex]AS[/tex] и [tex]AC[/tex]=>[tex]sin{\frac{\alpha }{2 } }=cos\varphi .cos{\frac{\alpha }{2 } }[/tex]=>

[tex]cos\varphi =tg\frac{\alpha }{2 } =>sin\varphi =\sqrt{1-tg^2\frac{\alpha }{2 } }[/tex]

[tex]\Delta AHS=>h=a\sqrt{1-tg^2{\frac{\alpha }{2 } }}; \Delta BAC=>AD=\frac{a}{ 2} ctg{\frac{\alpha }{ 2}}=>[/tex]

От лицето на АВС=>[tex]a=2\sqrt{l} \sqrt{tg{\frac{\alpha }{ 2}}}[/tex]. Тогава обемът е:

[tex]V=\frac{2}{ 3}l\sqrt{l}\sqrt{(1-tg^2\frac{\alpha }{2 } )tg(\frac{\alpha }{ 2})}[/tex]

[tex]tg{\frac{\alpha }{ 2}}=t\in (0;1)[/tex] Разглеждаме [tex]f(t)=t-t^3[/tex] (подкоренната функция), която има в разглеждания интервал НГС, при [tex]t=\frac{1}{ \sqrt{3} } =>tg{\frac{\alpha }{2} } =30^\circ =>\alpha =60^\circ[/tex]

[ptj]

Коригирах го, пак бях объркал изразяването, но г-жа Симеонова ме изпревари.

В тази връзка се е интересна друга задача:

Кога при фиксирана околна повърхнина на тетраедър, неговия обем е максимален?

П.П. Най-вероятно отговора е същият.