Пирамида, вписана в сфера

[4okoboko]

През точка от сфера с радиус R са построени три равни хорди. Намерете дължината на хордите, ако всеки две от тях сключват помежду си ъгъл 60 градуса. Само ми кажете как да ползвам радиуса. Отг. [tex]\frac{2\sqrt{6}.R }{3 }[/tex]

[ptj]

Имаш тетраедър (правилна 4-ъгълна пирамида) вписан в сфера (, защото околните стени са равностранни триъгълници). Трябва ти да знаеш къде е геометричното място на центъра на сферата спрямо пирамидата.

1.) Отговори си на въпроса:
Какво представлява и къде се намира множеството от точки равно отдалечени от върховете на равностранен триъгълник.

2.) След като си отговорил на (1), коя точка от същото множество е равнотдалечена от четвъртия връх.

3.) Остава малко тригонометрия или правоъгълни триъгълници...

П.П. Има и друг хитър начин - използвайки обеми докажи, че R=[tex]\frac{3}{4 }h[/tex].
Освен това [tex]h[/tex]е катет в правоъгълен триъгълник с 2-ри катет [tex]\frac{1}{3 }(\frac{a\sqrt{3} }{2 } )[/tex] и хипотенуза [tex]\frac{a\sqrt{3} }{2 }[/tex].

[4okoboko]

Добре, ако означим радиуса на вписаната в равностранния триъгълник окръжност с r, то страната на равностранния триъгълник се получава по теорема на пит. [tex]\sqrt{3}[/tex]r. Да приемем, че височината на пирамидата минава през радиуса на сферата ( не мога да направя хубав чертеж, за да видя дали е така, а и малко ми липсват уроци от миналата год...). Тогава височината по теорема на пит. е [tex]\sqrt{2}[/tex]r. Не знам обаче в какво отношение са h на пирамидата и R на сферата...

[4okoboko]

аааа, сетих се. От h на пирам. изваждаме R на сферата и се получава [tex]\sqrt{2}[/tex]r - R. След тва по брад пит. теорема смятам r.r + ([tex]\sqrt{2}[/tex]r - R).([tex]\sqrt{2}[/tex]r - R) = R.R. и се получава отговора. Мерси мн. за бързия отговор

[ptj]

Центъра на сферата е пресечната точка на 4-те височини, чиито пети са медицентрове на съответните равностранни триъъгълници. Тогава всяка височина може да се представи като [tex]h=R+h_1[/tex].
От друга страна [tex]V=\frac{1}{3 }S.h=4V_1=4(\frac{1}{3 }S.h_1 )[/tex],
т.е. [tex]h_1=\frac{1}{4 }h[/tex] или [tex]R=\frac{3}{4 }h[/tex].