4-ъгълна пир. в сфера

[4okoboko]

В правилна 4-ъгълна пирамида основният ръб има дължина "а", а двустенният ъгъл между две съседни околни стени има мярка [tex]\varphi[/tex] . Намерете радиуса на описаната около пирамидата сфера.

Ъгълът между стените го означаваме с [tex]\angle[/tex] AHC.( пуснал съм височини от А и от С. От триъгълник АНС (пускаме височина НМ) може да изразим и АН и НС, обаче за да изразя околния ръб стават луди сметки и се чудех дали има по лесен начин.....

[ptj]

Не ти трябва околния ръб.

Нека пирамидата е [tex]ABCS[/tex]

Понеже пирамидата е правилна, то [tex]S[/tex] се проектира в медицентъра на основата
([tex]\Delta{ABC}[/tex] e равностранен).

Ако [tex]HS[/tex] е височината, а [tex]SM[/tex] апотема към [tex]BC[/tex], то
[tex]HS=HM.tg(\angle{AMS})=\frac{1}{3 } AM.tg\varphi=\frac{1}{3 }\frac{\sqrt{3}a }{2 }tg\varphi=\frac{a.tg\varphi }{2\sqrt{3} }[/tex]

Понеже правата[tex]HS[/tex] се явява множество от точки, равноотдалечени от от върховете в основата, то центъра на описаната сфера (т.[tex]O[/tex]) лежи на нея.

Нека [tex]O[/tex] е между [tex]H[/tex] и [tex]S[/tex].

[tex]r^2=HA^2+HO^2=HA^2+(HS-r)^2[/tex]

[tex]r^2=(\frac{a}{\sqrt{3} } )^2+(\frac{a.tg\varphi }{2\sqrt{3} }-r)[/tex]

[tex]\frac{a.tg\varphi }{\sqrt{3} }r=\frac{a^2(4+tg^2\varphi) }{3 }[/tex]

[tex]r=\frac{a\sqrt{3} (4+tg^2\varphi) }{3tg\varphi }[/tex]


(*) Случая, когато [tex]H[/tex] е между [tex]O[/tex] и [tex]S[/tex] разликата е само в[tex]HO=(r-HS)[/tex], което не влияе на крайния резултат, т.е отговора е същия.

[4okoboko]

Добре, ама 4-ъгълна пирамида нали е когато основата е 4-ъгълник? Тоест отдолу да е квадрат?

[ptj]

Да, аз съм ти решил случая за тригълна, т.е. с 4 върха.

Но принципа е същия и би трябвало случая за 4-ъгълна да можеш да го решиш сам.

[ptj]

[tex]h=\frac{a}{2 }tg\varphi[/tex]

[tex]r^2=|\frac{a}{2 }tg\varphi-r|^2+(\frac{a}{\sqrt{2} })^2[/tex]

[tex]r.a.tg\varphi=\frac{a^2(tg^2\varphi+2)}{4}[/tex]

[tex]r=\frac{a(2+tg^2\varphi)}{4tg\varphi }[/tex]

[4okoboko]

Математиката не е за мене, обаче........нищо не цепя.....