17.

[4okoboko]

Една задача, на която получих отговора, но никъде не ползвах обема на пирамидата, а задачата беше със звездичка и обемът беше даден...... Ето я и нея :
В триъгълна пирамида АВСМ основният ръб ВС има дължина "а", а околните ръбове АМ и ВМ са равни, а околният ръб СМ е перпендикулярен на равнината на основата. Околният ръб ВМ сключва с равнината на основата ъгъл 60 градуса, а обемът на пирамидата е V = [tex]\frac{1}{ 4}[/tex] [tex]a^{3}[/tex]. Намерете радиуса на описаната около пирамидата сфера.

Решение:Щом АМ и ВМ са равни, значи и АС и ВС са равни защото са ортог. проекции, следователно ВС=АС=а. Щом СМ е перпендикулярна на основата, значи и СВМ и САМ са перпендикулярни на основата -----> ортогоналната проекция на ВМ в равнината на осн. е ВС ---> [tex]\angle[/tex] СВМ = 60 градуса ----> СВМ е правоъгълен с 30 градуса ----> ВМ = 2а ----> СМ = [tex]\sqrt{3}[/tex]а . След това използваме, че R=[tex]\frac{b^2}{2h }[/tex],(пускам височина от единия околен ръб към височината на пирамидата и се получават подобни 3-ъгълници). Няма да пиша доказателство тук, не съм сигурен, но май може да се ползва наготово.Все едно. Накрая се получава [tex]\frac{4.a^2} {2\sqrt{3}a }[/tex]. Съкращавам, умножавам по [tex]\sqrt{3}[/tex] и се получава отговорът, който е [tex]\frac{2\sqrt{3}.a }{3 }[/tex]. И V-то излиза, че са го написали за кеф....

[ptj]

Правилно,

Условията без обема са достатъчни за намирането радиуса на описаната сфера, който е равен на радиуса на описаната окръжност в околните стени при върха C.

Нещо повече и при друг обем, отговора ще е същия.

П.П. Можеше да съобразиш, че центъра на описаната окръжност в правоъгълен триъгълник е средата на хипотенузата.

[4okoboko]

Правилно,

Условията без обема са достатъчни за намирането радиуса на описаната сфера, който е равен на радиуса на описаната окръжност в околните стени при върха C.

Може ли само това да ми го обясниш малко по-подробно, защото не го разбрах. Това, че от правоъгълния триъгълник се знае, че хипотенузата е диаметър го разбирам, но как стигна до извода, че тая окръжност е най-голямата възможна в сферата, та да са еднакви радиусите?

[ptj]

Мерси за въпроса.

Казаното от мен , че "радиуса на описаната окръжност е равен на радиуса на сферата" не е вярно.

Нека [tex]C_1,N,P[/tex] са среди съответно на [tex]AB,AM,BM[/tex].

Tъй-като пирамидата е симетрична спрямо равнината [tex]C_1CM[/tex], то центъра на сферата лежи в нея.

Центъра на сферата е средата [tex]O[/tex]на [tex]NP[/tex], защото тя е перпендикулярана на равнината [tex]C_1CM[/tex]
[tex](PN\parallel AB; AB\bot CC_1; AB\bot MC_1)[/tex].

Понеже [tex]PN[/tex] е средна отсечка в [tex]\Delta{ABM}[/tex], то [tex]NO=\frac{AB}{4 }[/tex]. За да намериш радиуса [tex]OM[/tex] разписваш питагорова теорема за [tex]\Delta{MNO)[/tex].

[4okoboko]

Това с отсечката, свързваща центъра на хипотенузите да е диаметър на сферата има логика, но как се доказва? И не ти се чете отговора, показва ми само (...)

[ptj]

Завърших корекциите.

[math10.com]

Само да ви кажа , че и двамата пишете глупости.Помислете малко ,къде точно се намира центъра на описаната около пирамидата сфера.Не е средата на [tex]NP[/tex] , както е писал "ptj".След това ще обсъждаме необходимо ли е да се даде в условието обемът или не е.

[ptj]

Да, първо мислих за този вариант, а после нещо се заблудих...

От [tex]N, P[/tex] перпендикуляри към съответните околни равнини [tex](ACM),(BCM)[/tex] до тяхното пресичане.

Другия вариант е перпендикуляр от центъра на описаната окръжност в [tex]\Delta {ABC}[/tex] и симетрала на [tex]MC[/tex] в равнината [tex](MCC_1)[/tex], до тяхното пресичане.

Пресечената точка е една и съща и се явява ценър на описана сфера, но втория вариант е по-лек за сметки.

[4okoboko]

Добре, просто някой да ми напише подробно къде съм сбъркал в решението,ако не го мързи, че нищо не разбирам вече..........( после вие 2-мата си спорете на ЛС)

[kmitov]

Решение:Щом АМ и ВМ са равни, значи и АС и ВС са равни защото са ортог. проекции, следователно ВС=АС=а. Щом СМ е перпендикулярна на основата, значи и СВМ и САМ са перпендикулярни на основата -----> ортогоналната проекция на ВМ в равнината на осн. е ВС ---> \angle СВМ = 60 градуса ----> СВМ е правоъгълен с 30 градуса ----> ВМ = 2а ----> СМ = \sqrt{3}а . След това използваме, че R=\frac{b^2}{2h },(пускам височина от единия околен ръб към височината на пирамидата и се получават подобни 3-ъгълници). Няма да пиша доказателство тук, не съм сигурен, но май може да се ползва наготово.Все едно. Накрая се получава \frac{4.a^2} {2\sqrt{3}a }. Съкращавам, умножавам по \sqrt{3} и се получава отговорът, който е \frac{2\sqrt{3}.a }{3 }. И V-то излиза, че са го написали за кеф....


И защо ъгълът CBM e равен на 60 градуса?

[math10.com]

piramida1.png (104.32 KiB) Прегледано 377 пъти

Къде бъркаш незная.Вероятно във формулата която използваш.....
В задачата трябва да намерим ,къде тоно лежи центъра на описаната сфера.Обърни внимание на следното:
Ортогоналната проекция на центъра [tex]O[/tex] на описаната около пирамидата сфера във всяка една от стените на пирамидата ще бъде в центъра на описаната около тази стена окръжност.Този факт се доказва с еднакви триъгълници по 4-ти признак.
Виж картинката и си направи изчисленията.....