Триъгълна призма

[abc]

В правилна триъгълна призма АВСА1В1С1 е вписано кълбо с радиус √2. Да се намери лицето на околната повърхнина на вписания в кълбото прав кръгов цилиндър, чиято основа лежи в равнината, минаваща през т.А и средите на ръбовете ВВ1 и СС1.

[Zarrie]

Отговорът, който получавам аз е: [tex]\frac{11\sqrt{10}-\sqrt{330}}{4} \approx 4,15[/tex]

[abc]

Как го получаваш, може ли решение?

[Zarrie]

Построявам равнината през средите на двата околни ръба. Построявам успоредната на нея равнина през точките [tex]B_{1},C_{1}[/tex]и средата на ръба [tex]AA_{1}[/tex] Върху тези две равнини лежат основите на цилиндъра. Освен това тези основи са и вписаните в триъгълниците, които отсича призмата, окръжности. Намираме страните на тези триъгълници и от формулите за лице намираме радиуса на вписаната в тях окръжност, която се явява и основата на цилиндъра [tex]r=\frac{2\sqrt{30}}{\sqrt{22}+\sqrt{6}}[/tex] . После от точката, която е среда на ръба [tex]AA_{1}[/tex] спускаме перпендикуляр към правата от равнината, която е дадена в условието ( тази през двете среди), а правата принадлежи на стената [tex]ABB_{1}A_{1}[/tex] от там получаваме един правоъгълен триъгълник и намираме косинуса на ъгъла, който е образувала равнината с основата на призмата, после намираме ъгъла, който го допълва до 90 градуса и, който участва в триъгълника образуван от спусната височина. Намираме я и всичко нужно за ок. пов. на цилиндъра е намерено.

[Zarrie]

нека цилиндърът ни се казва [tex]\varphi[/tex],кълбото [tex]\mu(O;R)[/tex],а призмата [tex]\gamma[/tex]
[tex]Q:BQ=QB_{1}, V:CV=VC_{1}, AQV \cup \mu = k_{1} (O_{1};r_{1})[/tex]
[tex]k_{1} \in \varphi, k_{1}[/tex] е вписана в [tex]\Delta AQV[/tex]
Радиусът на кълбото е равен на радиуса на вписаната в осн. окръжност, защото вписаната окр. е проекция на сферата в основата. А от това, че основата е равностранен триъгълник следва:
[tex]\frac{AB \sqrt{3}}{6} = \sqrt{2},AB = 2\sqrt{6}[/tex]
[tex]B_{1}B \bot AB \Rightarrow \Delta ABQ : (\angle B=90), BQ= \frac{1}{2}h=R =\sqrt{2}, AB = 2\sqrt{6} \Rightarrow AQ = AV =\sqrt{22}[/tex]
[tex]\Delta ABC \Rightarrow AM (\bot AC,M z AC) =[/tex]
Намираме височината на триъгълника в основата на призмата, а после построяваме отсечка свързваща двете височини на основите на призмата. Нека средата ѝ е точката P
[tex]AP \in \Delta AQV, AP = 2\sqrt{5}, S_{AQV}=\frac{AP.VQ}{2} = 2\sqrt{30}[/tex],но
[tex]AQ=AV=\sqrt{22}, BQ=2\sqrt{6} \Rightarrow p_{AQV} = \sqrt{22}+\sqrt{6}[/tex]
[tex]S_{AQV} = pr \Rightarrow r=\frac{2\sqrt{30}}{\sqrt{22}+\sqrt{6}}[/tex] Това,както споменах по-горе, е радиусът на цилиндъра, тъй като основата му е вписаната в този триъгълник окр.
Постр равнина [tex]\nu : \parallel (AQV) , C_{1},B_{1} \in \nu , \nu \cup AA_{1} = S[/tex]
[tex]\nu \cup \mu =k_{2}[/tex]втората основа на цилиндъра.
Постр. [tex]SL \bot AQ, SL = h[/tex]
От триъгълник ABQ намираме косинуса на ъгъл [tex]cos \angle QAB =\frac{\sqrt{33}}{6}[/tex]
От триъгълник [tex]\Delta SLA \Rightarrow \angle SAL =90 - \angle QAB \Rightarrow sin \angle SAL = cos \angle QAB =
\frac{\sqrt{33}}{6} \Rightarrow \frac{h}{AS} = \frac{\sqrt{33}}{6} \Rightarrow h = \frac{\sqrt{66}}{6}[/tex]
Имаме радиуса и височината на цилиндъра от тук вече е ясно.