Перпендикулярност, куб

[4okoboko]

Точките Е и F са среди съответно на ръбовете А1B1 и C1D1 на куба ABCDA1B1C1D1. Постройте перпендикуляра от точката F към равнината (BDE) и намерете дължината му, ако ръбът на куба има дължина 1.
Решава се със скаларно произв. на вектори, но не бях на училище и не знам как да започна( ако може да обясните по- подробно)

[4okoboko]

Никой ли няма идеи..... трябва ми до понеделник, пишете квот се сетите, дори да не е цялото решение, аз би трябвало да мога да си я довърша......

[ptj]

Къде учиш? Да не би освен скаларно произведение да сте учили също и векторно проиведение?

Мога да ти я напиша и само със скаларно произведение, но решението ще е малко дългичко и вероятно ще ти е трудно да го напишеш сам отново ако ти се наложи.

Другия вариант е използвайки формули за обем.

[inveidar]

Къде учиш? Да не би освен скаларно произведение да сте учили също и векторно проиведение?

Мога да ти я напиша и само със скаларно произведение, но решението ще е малко дългичко и вероятно ще ти е трудно да го напишеш сам отново ако ти се наложи.

Не слушай ptj! Само ще те обърка!

[ptj]

Ходи да пасеш някъде.

[ptj]

[tex]K[/tex] среда на [tex]B_1C_1[/tex]

[tex]КF\parallel BD \Rightarrow[/tex] разстоянията от[tex]F[/tex] и [tex]К[/tex] до [tex](BDE)[/tex] са равни

Ръбовете [tex]КЕ[/tex] и [tex]BD[/tex] са кръстосани (лежат в успоредни равнини),
тогава обема [tex]V_{BDKE}=\frac{1}{6}KE.BD.1[/tex]
(1 e разстоянието между [tex]КЕ[/tex] и [tex]BD[/tex], а те са перпендикулярни помежду си).

Остава да намериш [tex]S_{\Delta BDE}[/tex], a от там височината от върха [tex]К[/tex] в тетраедъра [tex]BDKE[/tex].
------------------------------------------------------------------------------------
Ако не ти се занимава с Херонова формула:

Ортогоналната проекция на [tex]КЕ[/tex] в равнината [tex](DCA)[/tex] e средна отсечка в [tex]\Delta CDA[/tex] (срещу [tex]CA[/tex]), а тя пресича [tex]DB[/tex] в т.[tex]N[/tex], като [tex]ND:NB=1:3[/tex].

Освен това [tex](KEN)\bot BD[/tex] , т.е. с Питагорова теорема можеш да намериш [tex]NE[/tex], която е височина в [tex]\Delta BDE[/tex].

---------------------------------------------------------------------------------------
Ако държиш да използваш и скаларно произведение:

Въведи си три базови вектора -2 по 2 перпендикулярни (т.е. координатна система):

Примерно [tex]\vec DA=\vec x, \vec{DC}=y, \vec{DB_1}=z[/tex]

Може да изразиш [tex]\vec {КЕ}[/tex] и [tex]\vec{ЕN}[/tex], a после намирайки косинуса между тях да преминеш към синус, за да изразиш търсената височина. (Ортогоналната проекция на [tex]КЕ[/tex] в [tex](DEB)[/tex] лежи върху [tex]ЕN[/tex]).

Друг вариант е да изразиш две от страните на [tex]\Delta DBE[/tex] като вектори и минавайки през синус да намериш лицето на триъгълника...

-----------------------------------------------------------------------------------

4-ти вариант- ако не искаш да минаваш през обем е да намериш лицето на [tex]\Delta KEN[/tex], a след това неговата височина (от върха[tex]К[/tex]), която се явява височина в тетраедъра [tex]BDKE[/tex].
-----------------------------------------------------------------------------------
Има няколко други начина, но те само ще те объркат...

П.П. Може също чрез разлики на обеми на фигури, да намериш обема на тетраедъра [tex]BDEK[/tex].
(Евентуално, ако сте учили какво е векторно проиведение, може да намериш обема директно.)

[inveidar]

Ходи да пасеш някъде.

Благодаря за умния съвет!

[ptj]

Да бе написал решение вместо да се правиш на оригинален.

[inveidar]

Да бе написал решение вместо да се правиш на оригинален.

Нема начин. На паша съм.

[ptj]

Вземи се прибирай ,че стана късно, утре ще продължиш...

[monika_at]

Добре де, постройте читаво сечение и приравнете обеми. Минава се идеално без вектори.

[inveidar]

GGG.png (42.8 KiB) Прегледано 604 пъти

Прибрах се за малко и пускам един чертеж. Очаквам ptj да го обясни, че пак излизам!
Червените отсечки не знам що съм ги направил червени. Сигурно е от преяждане.

[ptj]

Добре де, постройте читаво сечение и приравнете обеми. Минава се идеално без вектори.

Имаш предвид "Принцип на Кавалиери" ли?
Ще се радвам да видя подобно изящно решение.

[inveidar]

Добре де, постройте читаво сечение и приравнете обеми. Минава се идеално без вектори.

Имаш предвид "Принцип на Кавалиери" ли?
Ще се радвам да видя подобно изящно решение.

Има предвид да изрази обем на тяло по два начина. А на моя чертеж може да видите и построението, защото в задачата се иска да се построи перпендикулярът. Е, първо трябва да го пресметнете за да намерите точно съотношението в което Q дели О... .

[ptj]

Написал съм достатъчно много начини как да се намери дължината на въпросния перпендикуляр, построението изобщо не е проблем...

Но ако толкава искате оригинален начин да бяхте обяснили защо [tex]V_{FBDE}=V_{KBDE}=\frac{1}{2}V_{A_1BC_1D}=\frac{1}{2}(\frac{1}{6}\sqrt{2}.\sqrt{2}.1)=\frac{1}{6}[/tex].

П.П. Точка [tex]К[/tex] e среда на [tex]C_1B_1[/tex].

[inveidar]

GGG1.png (56.78 KiB) Прегледано 600 пъти

Ако все пак не ти е ясно на моя чертеж как да намериш разстоянието без обеми, вектори и прочие, пускам ти още един чертеж. Дано се ориентираш, че много бързам.