пресечена триъгълна пирамида

[botevistaaa]

В правилна пресечена триъгълна пирамида с основни ръбове a и b ъгълът между околния ръб и основата е 45[tex]^\circ[/tex] . Намерете лицето на сечението , минаващо през околен ръб, и перпендикулярно на срещуположен на него основен ръб.

[ева]

ABCD[tex]A_{1 }[/tex][tex]B_{1 }[/tex][tex]C_{1 }[/tex][tex]D_{1 }[/tex]-правилна прес.триъг.пирамида Нека т.Н,т.[tex]Н_{1 }[/tex] са среди на АС и [tex]А_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex],т.[tex]Н_{2 }[/tex],т.[tex]В_{2 }[/tex] лежат на долната основа,като [tex]Н_{1 }[/tex][tex]Н_{2 }[/tex] и [tex]В_{1 }[/tex][tex]В_{2 }[/tex] са височина на пирам. т.е.[tex]Н_{1 }[/tex][tex]Н_{2 }[/tex]=[tex]В_{1 }[/tex][tex]В_{2 }[/tex]=h;т.[tex]А_{2 }[/tex] лежи на АС,като [tex]А_{1 }[/tex][tex]А_{2 }[/tex][tex]\bot[/tex]АС;Н[tex]Н_{1 }[/tex]=х,[tex]\angle[/tex]НВ[tex]В_{1 }[/tex]=45[tex]^\circ[/tex]
S(НВ[tex]В_{1 }[/tex][tex]Н_{1 }[/tex])=? //НВ[tex]В_{1 }[/tex][tex]Н_{1 }[/tex]-трапец
[tex]\triangle[/tex][tex]В_{2 }[/tex]В[tex]В_{1 }[/tex] е равноб.правоъг.тр-к[tex]\Rightarrow[/tex] В[tex]В_{2 }[/tex]=h;Н[tex]Н_{2 }[/tex]=ВН-В[tex]В_{2 }[/tex]-[tex]В_{2 }[/tex][tex]Н_{2 }[/tex]=[tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]-h-[tex]\frac{b\sqrt{3}}{2}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{3}(a-b)-2h}{2}[/tex]
[tex]\triangle[/tex]H[tex]H_{2 }[/tex][tex]H_{1 }[/tex]-правоъг. [tex]НН_{1 }^{2}[/tex]=[tex]НН_{2 }^{2}[/tex]+[tex]Н_{1 }Н_{2 }^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^{2}[/tex]=([tex]\frac{\sqrt{3}(a-b)-2h}{2})^{2}[/tex]+[tex]h^{2}[/tex] ...[tex]x^{2}[/tex]=[tex]\frac{3(a-b)^{2}-4\sqrt{3}h(a-b)+8h^{2}}{4}[/tex] (1)
[tex]\triangle[/tex][tex]А_{2 }[/tex]А[tex]А_{1 }[/tex]-правоъг. [tex]АА_{2 }^{2}[/tex]+[tex]А_{1 }А_{2 }^{2}[/tex]=[tex]АА_{1 }^{2}[/tex] ;([tex]\frac{a-b}{2})^{2}[/tex]+[tex]x^{2}[/tex]=2[tex]h^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^{2}[/tex]=[tex]\frac{8h^{2}-(a-b)^{2}}{4}[/tex] (2)
от (1) и (2)[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{3(а-b)^{2}-4\sqrt{3}h(a-b)+8h^{2}}{4}[/tex]=[tex]\frac{8h^{2}-(a-b)^{2}}{4}[/tex] ...h=[tex]\frac{\sqrt{3}(a-b)}{3}[/tex] (3)
S=[tex]\frac{(BH+B_{1 }H_{1 })h}{2}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex]([tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]+[tex]\frac{b\sqrt{3}}{2}[/tex])[tex]\frac{\sqrt{3}(a-b)}{3}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{3}(a+b)\sqrt{3}(a-b)}{12}[/tex]
S=[tex]\frac{a^{2}-b^{2}}{4}[/tex]

[S.B.]

Пирамидата е ABC[tex]A_{1 }[/tex][tex]B_{1 }[/tex][tex]C_{1 }[/tex];В долната основа :CM[tex]\bot[/tex]AB, CM=[tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex];През C[tex]C_{1 }[/tex] и M[tex]C_{1 }[/tex] построявам сечението което минава през околен ръб C[tex]C_{1 }[/tex] и е перпендикулярно на основния ръб AB.То пресича горната основа в [tex]C_{1 }[/tex][tex]M_{1 }[/tex] която се явява височина в горната основа и [tex]C_{1 }[/tex][tex]M_{1 }[/tex] = [tex]\frac{b\sqrt{3}}{2}[/tex] ; Полученото сечение MC[tex]C_{1 }[/tex][tex]M_{1 }[/tex] е трапец ,като MC=[tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex],[tex]M_{1 }[/tex][tex]C_{1 }[/tex] = [tex]\frac{b\sqrt{3}}{2}[/tex] и [tex]\angle[/tex]MC[tex]C_{1 }[/tex] = 45[tex]^\circ[/tex]; Нека т.О е медицентър в [tex]\triangle[/tex]ABC а т.[tex]О_{1 }[/tex] в [tex]\triangle[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]B_{1 }[/tex][tex]C_{1 }[/tex].Тогава OC=[tex]\frac{a\sqrt{3}}{3}[/tex] и [tex]О_{1 }[/tex][tex]C_{1 }[/tex] = [tex]\frac{b\sqrt{3}}{3}[/tex];Разглеждам правоъгълния трапец OC[tex]C_{1 }[/tex][tex]O_{1 }[/tex],където [tex]C_{1 }[/tex]H[tex]\bot[/tex]OC и [tex]\triangle[/tex]CH[tex]C_{1 }[/tex] e равнобедрен,правоъгълен,кaто [tex]C_{1 }[/tex]H= CH = [tex]\frac{a\sqrt{3}}{3}[/tex] - [tex]\frac{b\sqrt{3}}{3}[/tex] = (a - b)[tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex] (=h на сечението)
S на сечениетo = S на трапеца MC[tex]C_{1 }[/tex][tex]M_{1 }[/tex]= [tex]\frac{1}{2}[/tex].(a - b)[tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]. (a + b)[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] =[tex]\frac{а^{2} - b^{2}}{4}[/tex]

[ptj]

Друг начин за решение е като се мине през обема на пълната пирамида (непресечената).
[tex]a>b[/tex]
[tex]h=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]

[tex]V=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.h=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a^3}{12}[/tex]

Спомената в условието равнина минаваща през околен ръб и перпендикулярна на срещуположен основен ръб има триъгълно сечение с пирамидата с лице [tex]S[/tex].

[tex]V=\frac{1}{3}S.a\Rightarrow S=\frac{a^2}{4}[/tex]

Триъгълника с лице [tex]S[/tex] се разделя от равнината на по-малката основа на пресечената пирамида на трапец и малък триъгълник (подобен на големия).

Лицето на трапеца (търсеното в условието сечение) е разлика от лицата на големия и малкия триъгълници,

т.е.[tex]S_1=\frac{a^2-b^2}{a^2}.S=\frac{a^2-b^2}{4}[/tex]