Стереометрия

[IvanBlagoev]

1 ) Намерете обема на правилна четириъгълна пирамида, на която пълната повърхнина е 96

и апотемата е 5.

2 ) Да се намери обема на правилна триъгълна пирамида, на която всички ръбове са 2.


3 ) Да се намери обема на правилна четириъгълна пирамида, на която всички ръбове са 4.


4 ) Намерете обема на правилна триъгълна пирамида с височина [tex]\sqrt{3}[/tex] и ъгъл между околна стена и основата 60^\circ


Ето няколко задачки, бих бил много благодарен ако някой съфорумник се включи на помощ.
.

[Knowledge Greedy]

1) Нека основният ръб на пирамидата да е [tex]2a[/tex].
С помощта на дадената апотема намираме височината на пирамидата [tex]h=\sqrt{25-a^2}[/tex] (същото както в задача 4, само че там е на обратно - височината е дадена
Така обемът, който търсим е [tex]V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}(2a)^2h=\frac{4}{3}a^2\sqrt{25-a^2}[/tex]

Дадено е лицето на пълната повърхнина [tex]S=4a^2+4.\frac{1}{2}.2a.5=96[/tex]
От полученото квадратно уравнение [tex]a^2+5a-24=0[/tex] намираме [tex]a=3[/tex] и го заместваме във формулата за обема.

2) Трябва да умееш да намираш височина на равностранен триъгълник, ако е дадена страната му. Ако не го можеш - не мога да ти помогна

3) Всяка от околните стени е равностранен триъгълник със страна 4. Апотемата на околната стена - това е височината на този равностранен триъгълник. За да помогна, трябва да съм сигурен, че знаеш да намираш височината на равностранен триъгълник.

4) Върхът на правилната пирамида се проектира ортогонално върху основата и в нейния център [tex]O[/tex]. Върхът на пирамидата [tex]M[/tex], петата на апотемата [tex]K[/tex] и центърът [tex]O[/tex] са върхове на правоъгълен триъгълник с катет [tex]OM=\sqrt{3}[/tex], прав ъгъл [tex]\angle KOM[/tex] и ъгъл [tex]\angle OKM=60^\circ[/tex] - който е линейният ъгъл на ъгъла между околна стена и основата. Всеки седмокласник знае колко е третият ъгъл на този триъгълник и че хипотенузата му е два пъти катета срещу тези [tex]30^\circ[/tex]. Оттук веднага с теоремата на Питагор намираме отсечката от основата [tex]OK[/tex], която представлява [tex]\frac{1}{3}[/tex] от височината на равностранния триъгълник на основата.
И сега опираме до обратната задача на подчертаната задача в 3) и 2) - ако знаем височината на равностранен триъгълник - как се намира страната му.
Ако това не можеш - няма смисъл да обяснявам повече.