Прав Паралелепипед

[nezmez]

Основата на прав паралелепипед е ромб с диагонали 6 cm и 8 cm. Диагоналът на околната стена е 13 cm. Намерете пълната повърхнина и обема на паралелепипеда.

[mail_dinko]

Обема на паралелепипеда намираме по формулата [tex]V =B h[/tex], където В е лицето на основата (на ромба), а h е височината. По даденото от задачата можем да намерим лицето на основата. Ромбът е делтоид, лицето се намира като полупроизведение от диагоналите.
[tex]B= \frac { d_1 d_2 }{2}= \frac { 6.8}{2}=24[/tex]
При стандартни означения в ромбът ABCD диагоналите AC и BD се пресичат под прав ъгъл.
[tex]AC \cap BD = т.O[/tex]
Ромбът е частен случай на успоредник, диагоналите взаимно се разполовяват.
[tex]AO=OC= \frac12 AC = \frac {1}{ 2}. 8=4 \Rightarrow \fbox {AO = 4}[/tex]
[tex]BO=OD= \frac12 BD = \frac {1}{ 2}. 6=3 \Rightarrow \fbox {BO = 3}[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta ABO \Rightarrow \angle O = 90 ^\circ[/tex]. От теорема на Питагор:
[tex]AB^2 = AO^2 + BO^ 2 \rightarrow AB = \sqrt {AO^2 + BO^ 2}= \sqrt {4^2 + 3^ 2} = \sqrt {25} \Rightarrow \fbox {AB= 5}[/tex]
Околните стени на правия паралелепипед с основа ромб са равнолицеви правоъгълници. При стандартни означения за паралелепипеда [tex]ABCD A_1 B_1 C_1 D_1[/tex], по условие диагоналът [tex]C B _1 = 13[/tex] и [tex]\Delta CB B _1 \rightarrow \angle B = 90 ^\circ[/tex]
По теорема на Питагор се намира височината на паралелепипеда.
[tex]B _1 C ^2 = BC ^2 + B_1B ^2 \Rightarrow BB _1 = \sqrt {B _1 ^2 - BC^2}= \sqrt {13^2 - 5^2}= \sqrt {169-25} = \sqrt {144}= \sqrt {12^2}=12[/tex]
Обема на паралелепипеда намираме по формулата [tex]V =B h= 24.12 = 288 \Rightarrow \fbox {V _ {паралелепипед}=288 cm^3}[/tex]
Пълната повърхнина на паралелепипеда [tex]S_1[/tex] е сбор от околната повърхнина [tex]S[/tex] и удвоеното лице на основата (ромба) [tex]B[/tex] .
[tex]S_1 = S +2B[/tex]
Околната повърхнина представлява сума от лицата на четирите равнолицеви правоъгълника
[tex]S = S _ {BCC _1 B _1} + S_ {CD D_1 C_1}+S_{DA A_1 D_1}+S_{AB B_1 A_1}= 4 S _{BC C_1 B_1} = 4. BC . B_1B = 4.5.12=240[/tex]
[tex]S_1 = S +2B=240+2.24=288 \Rightarrow \fbox {S_1 = 288 cm^2}[/tex]