Описана сфера

[wenci]

Много ще съм благодарен, ако някой може да ми обясни една задача.
зад. Радиусът на описаната около правилна четириъгълна пирамида сфера е R. Намерете обема на пирамидата, ако околният ръб на пирамидата сключва с равнината на основата ъгъл [tex]\alpha[/tex]

[Knowledge Greedy]

Щом околният ръб сключва с равнината на основата ъгъл с мярка [tex]\alpha[/tex], значи височината на пирамидата намираме от отношението [tex]\frac{H}{R}=tg \alpha[/tex],
а тъй като две трети от височината [tex]h[/tex] на основата e [tex]R[/tex] откриваме страната на основата (от правоъгълния триъгълник - половина на равностранния, по теорема на Питагор) [tex]a=\frac{2R}{3\sqrt{3}}[/tex]
Лицето на основата е [tex]S=\frac{ah_a}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2R^2\sqrt{3}}{27}[/tex]
и остава да приложим формулата за обем на пирамида [tex]V=\frac{1}{3}SH[/tex].