Да се докаже, че може да се впише сфера

[wenci]

зад. Основата ABCD на четириъгълната пирамида ABCDQ е квадрат със страна a. Околните стени QAB и QAD са перпендикулярни на равнината на основата, а околната стена QBC сключва с основата ъгъл 60. Докажете, че в пирамидата може да се впише сфера, и намерете нейния радиус.
Доста мислих по задачата... на училище и госпожата не успя да я измисли .. Намерих, че даденият ъгъл е [tex]\angle[/tex][tex]ABQ=60[/tex], [tex]AB=a => BQ=2a[/tex], [tex]AQ=\sqrt{3}a[/tex], но като стигна до сферата и блокирам.. Ако някой може да ми я обясни?

[ins-]

http://www.solemabg.com/Zip_Files/Stereometria.pdf тук виж за вписана сфера и двустенен ъгъл. Ръбът AQ e перпендикулярен на равнината на основата (сключва прави ъгли с всички прави от нея, с които има обща точка /и не само/).

[Knowledge Greedy]

Правилно си установил, че [tex]AQ\bot ABCD[/tex], че ъгъл [tex]\angle ABQ=60^\circ[/tex] и ако [tex]AB=a[/tex], то [tex]BQ=2a[/tex] и [tex]AB=a\sqrt{2}[/tex].

Сега да си дадем сметка, къде лежи центърът на вписаната сфера, ако такава съществува.
Отговор: - на равнините[tex]^{*}[/tex] ъглополовящи на двустенните ъгли, образувани от околните стени и основата.
Нека [tex]BL[/tex] е ъглополовящата на линейния ъгъл [tex]\angle ABQ[/tex] на двустенния ъгъл [tex]\angle ((ABCD); (BCQ))[/tex].
Следователно [tex](BCL)[/tex] e една такава равнина[tex]^{*}[/tex].
Поради основата квадрат и еднаквостта [tex]\Delta ABQ \cong \Delta ADQ[/tex], равнината[tex]^{*}[/tex] [tex](CDL)[/tex] има същото свойство[tex]^{*}[/tex].
Двете равнини [tex](BCL)[/tex] и [tex](CDL)[/tex] се пресичат по правата [tex]CL[/tex], следователно центърът [tex]I[/tex] на нашата сфера би лежал точно върху [tex]CL \,\ (20015)[/tex]
(която между другото е права от диагоналното сечение [tex](ACQ)[/tex] на пирамидата.).

Вписаната сфера 1.png (4.46 KiB) Прегледано 396 пъти

Нека [tex]AN[/tex] е ъглополовящата на правия ъгъл [tex]\angle BAQ[/tex] в правоъгълния [tex]\Delta BAQ[/tex].
Тъй като [tex]\angle BAQ[/tex] е линейният ъгъл на двустенния ъгъл [tex]\angle ((ABCD); (ADQ))[/tex], то [tex](ADN)[/tex] е ъглополовяща равнина[tex]^{*}[/tex] на този двустенен ъгъл.
Тази равнина [tex](ADN)\cap (BCQ) = NM[/tex] - точката [tex]M[/tex] е от ръба [tex]CQ[/tex] и [tex]NM||BC||AD[/tex] (последното е по причина, че пресечниците на две пресичащи се равнини с трета, са успоредни на тяхната пресечница).
Следователно [tex]I\in AM[/tex] - поради това, че [tex](ACQ)\cap(ADN)=AM[/tex].

Вписаната сфера 2.png (6.23 KiB) Прегледано 396 пъти

По същите причини [tex]I\in AM \,\ (20016)[/tex], но вече като гледаме от другата страна - [tex]AP[/tex] е ъглополовящата на правия ъгъл [tex]\angle DAQ[/tex] в правоъгълния [tex]\Delta DAQ[/tex]; [tex]\angle BAP[/tex] е линейният ъгъл на двустенния ъгъл [tex]\angle ((ABCD); (ABQ))[/tex], и [tex](ABP)[/tex] е ъглополовяща равнина[tex]^{*}[/tex] на този двустенен ъгъл.

Гледаме отново диагоналното сечение [tex](ACQ)[/tex]. От [tex](20015)[/tex] и [tex](20016)[/tex] следва, че [tex]I\in AM\cap CL[/tex].
На практика открихме центъра на сферата - точката [tex]I= AM\cap CL[/tex], на равни разстояния ат всички стени, защото лежи на ъглополовящите равнини.

Остават техническите пресмятания.
От свойство на ъглополовящата за [tex]\Delta ABQ[/tex] следва, че [tex]QL=\frac{2a\sqrt{3}}{3}[/tex] и [tex]AL=\frac{a\sqrt{3}}{3}[/tex].
От същия триъгълник, но за другата ъглополовяща - [tex]AN[/tex] имаме [tex]\frac{QN}{NB}=\sqrt{3}[/tex],
последното отношение се пренася по теорема на Талес върху [tex]QC[/tex], а именно [tex]\frac{QM}{MC}=\sqrt{3}[/tex]
и т.к. [tex]CQ=a\sqrt{5}[/tex] - по Питагор, получаваме [tex]QC=\frac{a\sqrt{15}}{\sqrt{3}+1}[/tex] и [tex]MC=\frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1}[/tex]

Вписаната сфера 3.png (4.24 KiB) Прегледано 396 пъти

Сега вече, в триъгълника [tex]\Delta CQA[/tex] определяме разстоянието [tex]r[/tex] от [tex]I[/tex] до [tex]CQ[/tex] като
[tex]r=\frac{\sqrt{3}-1}{2}a[/tex]
(Аз го направих с една теорема на Менелай, една теорема на Талес и щастливо стечение на обстоятелствата .)
___________________
Оказва се, че техническото изпълнение, без доказателствената част може значително да се съкрати, ако използваме аналога на формулата за лице [tex]S=pr[/tex] - от равнината.
Обемът [tex]V[/tex] на пирамидата пресмятаме по два начина - първо с основа и височина [tex]V=\frac{1}{2}a^2.a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}[/tex] и второ - със споменатия по-горе аналог, само че тук с радиуса [tex]r[/tex] на вписаната сфера. Първоначален проблем е пълната повърхнина на пирамидата [tex]S=a^2+2.\frac{a.a\sqrt{3}}{2}+2\frac{a.2a}{2}[/tex] - един квадрат и две двойки еднакви триъгълници. Остава да изразим [tex]V=\frac{1}{3}Sr[/tex] и след приравняване на двете изразявания, получаваме същия отговор.