Цилиндър и прав кръгов пресечен конус

[Aizui]

Здравейте,
По принцип доста обичам да решавам задачи от този тип... но се сблъсках със следните две задачи, които доста ме затрудниха:

Задача 1: Сборът от радиуса и височината на цилиндър е 3 m, а обемът му е 2[tex]\pi[/tex] [tex]m^3[/tex]. Намерете радиуса на основата му.

Задача 2: Обемът на прав кръгов пресечен конус е 6520[tex]\pi[/tex] [tex]dm^3[/tex], а образуващата и радиусите на основите му се отнасят както 17:11:3. Намерете лицето на повърхнината му.

Предварително благодаря!

[KOPMOPAH]

Задача 1
Ако означим радиуса на основата с [tex]R[/tex], а височината - с [tex]H[/tex], по условие имаме:
[tex]R+H=3[/tex],
[tex]\pi.R^{2}H=2\pi[/tex]
От първото равенство изразяваме [tex]H=3-R[/tex] и заместваме във второто
[tex]\pi.R^{2}(3-R)=2\pi[/tex]
Съкращаваме на [tex]\pi[/tex] и след преобразуване получаваме уравнение за [tex]R[/tex]
[tex]R^{3}-3R^{2}+2=0[/tex]
[tex]R^{3}-R^{2}-2R^{2}+2=0[/tex]
[tex]R^{2}(R-1)-2(R^{2}-1)=0[/tex]
[tex](R-1)(R^{2}-2R-2)=0[/tex]
Това уравнение има три корена [tex]R_{1 }=1[/tex], [tex]R_{2 }=1+\sqrt{3}[/tex] и [tex]R_{3 }=1-\sqrt{3}[/tex].
Тъй като [tex]R_{3 }<0[/tex] окончателно имаме два отговора - [tex]R_{1 }=1[/tex], [tex]R_{2 }=1+\sqrt{3}[/tex]

[mail_dinko]

[tex]V=6520 \pi[/tex] [tex]dm^3[/tex]
[tex]V=\frac { \pi h}{3} (r^2+rR+R^2)[/tex]
[tex]S_1= \pi l (r+Rl)+\pi r^2+\pi R^2 = \pi [ l (r+Rl)+ r^2+ R^2][/tex]
Означаваме [tex]l[/tex], [tex]R[/tex] и [tex]r[/tex] съответно като [tex]17x[/tex], [tex]11x[/tex], [tex]3x[/tex]
[tex]V=\frac { \pi h}{3} (9x^2+33x^2+121x^2) \Leftrightarrow 6520 \cancel{\pi} =\cancel{\pi.} \frac {h}{3} 163x^2 |.3 \Leftrightarrow \fbox {120 = h x^2}[/tex]
[tex]S_1= \pi [17x (3x+33x^2)+9x^2+121x^2]= \pi [17x (3x+33x^2)+130x^2][/tex]
Чертаем осното сечение на конуса - равнобедрен трапец; голямата основа, малката основа, бедрото са съответно [tex]a=11x[/tex], [tex]b=3x[/tex], [tex]l=17x[/tex]. При стандартни означения в трапеца [tex]ABCD[/tex], спусната височина от т.[tex]D[/tex] към голямата основа [tex]DH \bot AB:т.D \in AB[/tex], то отсечката [tex]AH= \frac {a-b}{2}= \frac {22x-6x}{2}=8x[/tex]. От тук по питагоровата теорема [tex]AD^2=AH^2+HD^2 \rightarrow HD = \sqrt {AD^2-AH^2}= \sqrt {289x^2-64x^2}= \sqrt {225x^2} \rightarrow \fbox {h=15x}[/tex]
[tex]120 = h x^2 \Leftrightarrow 120 = 15x^3 |:15 \Leftrightarrow 8=x^3 \rightarrow \fbox {x=2}[/tex]
[tex]S_1= \pi [17.2 (3.2+33.4)+130.4]= \pi [17.2 (6+132)+520]= \pi [34.138+520][/tex]
[tex]S_1 = 34658 \pi[/tex] [tex]dm^2[/tex]