Няколко задачки

[eviL!]

Като цяло съм скаран с стереометрията,хич не ми е приятна.

Ако може някой да ми помогне с 2-3 задачки

Основата на пирамида е равнобедрен триъгълник с основа 6cmи височина към нея 9cm.
Всички околни ръбове на пирамидата имат дължина 13 cm.
Да се намери обемът на пирамидата.

С основата се оправям,но височината на пирамидата ми се губи.

Зад2.

Сфера с радиус 2cm е вписана в правоъгълен паралелепипед така,че се допира до всички негови стени. Обемът на паралелепипеда е:

Зад3.
Основата на триъгълната пирамида ABCM е равностранен ABC със страна 6cm. Градусната мярка на ъгъла между равнинитеABC иBCM е 30.Ако околният ръб MA е перпендикулярен на основата, то обемът на пирамидатае:

[Nathi123]

1.зад. Нека основата е триъг.АВС. АС = ВС по условие,АВ = 6 см. [tex]CH \bot AB\Rightarrow AH = BH = 3 cm, CH = 9 cm[/tex] . Да означим с т.О центъра на описаната около основата АВС окръжност.По условие ок. ръбове са равни[tex]\Rightarrow[/tex] върха М на пирамидата се проектира ортогонално в т.О,т.е. МО е височината на пирамидата.[tex]CO = BO = AO = R[/tex] -радиус на описаната около триъг. АВС окр. От лицето на АВС , получаваме [tex]S = \frac{1}{2}AB.CH=\frac{AC^{2}.AB}{4R}\Rightarrow 3.9 = \frac{AC^{2}.6}{4R}, AC^{2}= CH^{2}+AH^{2}[/tex] ( Т на Питагор за триъг. АСН) [tex]\Rightarrow AC^{2}=90\Rightarrow R = 5 cm.[/tex] От триъг. СОМ - правоъг. получаваме [tex]MO^{2}= 13^{2}-25=144\Rightarrow MO = 12 \Rightarrow V_{ABCM } = \frac{1}{3}S_{ABC }.MO=108 cm^{3}.[/tex]

[mail_dinko]

Зад. 2 - за да се допира сферата до всички стени на паралелепипеда, то той е куб.
Диаметърът на сферата е страна на куба [tex]a[/tex].
[tex]a=2r=2.2=4[/tex]
Обем на куб [tex]V=a^3=4^3=64[/tex]

[Nathi123]

2.зад. Нека правоъг. паралелепипед е ABCD[tex]A_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 }[/tex] и AB = a , BC = b , DD[tex]_{1 }=c[/tex] Сферата за да се допира до успоредните равнини ( A,B,C) и [tex](A_{1 },B_{1 },C_{1 })[/tex] трябва [tex]DD_{1 }=c = 2r,[/tex] където r е радиуса на сферата [tex]\Rightarrow
c=2.2= 4 cm.[/tex] Аналогично ,за до се допира сферата до другите 2 двойки успоредни стени на паралелепипеда трябва a = 2r = b = 4 cm. Обемът на паралелепипеда е = 4.4.4 = 64 [tex]cm^{3}.[/tex]

[Knowledge Greedy]

Ето примерен чертеж.

Третата.png (6.2 KiB) Прегледано 925 пъти

Тъй като [tex]BC[/tex] е пресечницата[tex]^ {\ast}[/tex] на двете равнини, а апотемата [tex]MK[/tex] на околната стена [tex]BCM[/tex] и височината на основата [tex]AK[/tex] имат една и съща пета, то даденият линеен ъгъл на ъгъла между равнините [tex](ABC)[/tex] и [tex](BCM)[/tex] e [tex]\angle AKM =30^\circ[/tex]
Като знаем височината на основата и с определението за тангенс, намираме височината [tex]MA[/tex] на пирамидата.
Оттук с формулата за обем на пирамида намираме търсения обем [tex]V=27\sqrt{3}[/tex].
______________
[tex]^ {\ast}[/tex] Ъгълът между две равнини се определя от два перпендикуляра към тяхната пресечница, построени в една и съща точка от пресечницата, и лежащи единият в едната равнина, а другият - в другата.