Задачи с триъгълна и четириъгълна пирамида

[emiliq_883]

1. В правилна триъгълна пирамида основният ръб е 3 см., а височината е 1 см. Намерете околния ръб, лицето на околната повърхнина и обема на пирамидата.
2. В правилна четириъгълна пресечена пирамида дължините на основните ръбове са 16 см. и 4 см., а апотемата е 10 см. Намерете лицето на повърхнината и обема на пирамидата.

[Davids]

1. Правилна триъгълна пирамида ABCD, следователно върхът се прожектира върху центъра на описаната около основата окръжност. Тоест, можем да получим правоъгълен триъгълник [tex]\Delta DHA (\angle DHA = 90^{\circ})[/tex], с хипотенуза [tex]l[/tex], първи катет [tex]R[/tex] и втори катет - височината, т.е. [tex]1cm[/tex]. Радиусът на описаната окръжност ще намерим по формулата за лице на равностранен триъгълник и универсалната с радиус на описаната окръжност:
[tex]S_{ABC} = \frac{3}{4}.a^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4}[/tex]
Но също [tex]S = \frac{a^3}{4R}[/tex]
Следователно [tex]\frac{9\sqrt{3}}{4} = \frac{a^3}{4R} \Rightarrow R = \sqrt{3}[/tex]
Връщаме се на гореспоменатия правоъгълен триъгълник, откъдето по Питагор: [tex]l^2 = 1^2 + \sqrt{3}^2 = 4[/tex]
Следователно околният ръб [tex]l = 2[/tex].
Лицето на околната повърхнина ще намерим, като първо намерим височината на една от околните стени по питагорова теорема:
[tex]h_1 = \sqrt{2^2 - (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{16 - 9}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}[/tex]
Следователно лицето на една околна стена е [tex]S_{ABD} = \frac{3\sqrt{7}}{4}[/tex], а на цялата околна равнина е [tex]3S_{ABD} = \frac{9\sqrt{7}}{4}cm^2[/tex]
За обема на пирамидата остава лесното: [tex]V = \frac{B.h}{3} = \frac{\frac{9\sqrt{3}}{4}.1}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{4}cm^3[/tex]

[Davids]

2. Реално основите са квадрати със страни 16 и 4см, а околната стена е трапец с основи 16 и 4см и височина 10см. Следователно лицето на повърхнината е общо [tex]S = 4^2 + 16^2 + 4.\frac{16+4}{2}.10 = 17.16 + 4.100 = 272 + 400 = 672cm^2[/tex]
За да намерим обема, първо ще намерим височината на пресечната ни пирамида по питагорова теорема: [tex]h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8cm[/tex]
ще довършим пирамидата докрай, като така ще се получат един вид две подобни пирамиди с коефициент на подобие [tex]k = 4[/tex], от по-голямата ще изваждаме обема на по-малката. Знаем лицата на основите, сега ще намерим височините. Височината на малката пирамида горе е [tex]h_1[/tex], а на цялата голяма завършена пирамида - [tex]h_1 + 8[/tex]. Правим отношението:
[tex]\frac{h_1}{h_1 + 8} = \frac{1}{4} \Rightarrow h_1 = \frac{8}{3}cm[/tex], откъдето голямата височина e [tex]h_2 = \frac{32}{3}cm[/tex]
Вадим обемите, за да получим обема на пресечената пирамида:
[tex]V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = V_{ABCDM} - V_{A_1B_1C_1D_1M} = \frac{16^2.\frac{32}{3}}{3} - \frac{4^2.\frac{8}{3}}{3} = \frac{2.16^3 - 16.8}{9} = \frac{8064}{9} = 896cm^3[/tex]