Основата на пирамида е триъгълник със страни 13см,14см,15см

[shener.hadjimehmed]

Основата на пирамида е триъгълник със страни 13см,14см,15см и сключва с всяка от околните стени ъгъл 60[tex]^\circ[/tex] . Намерете лицето на околната повърхнина и лицето на повърхнината на пирамидата . Отговори : S=168 S1=252. Ако може малко по подробно да я обясните ? Мерси!

[KOPMOPAH]

Първото, което трябва да ти направи впечатление в тази задача, са тези числа $13$, $14$ и $15$. Този триъгълник се среща в много задачи. Ако спуснеш височината към страната $14$ и я намериш по Питагоровата теорема, ще видиш, че се получават два правоъгълни триъгълника с прочутите Питагорови тройки $5\,,12\,,13$ и $9\,,12\,,15$ (която е $3$ пъти по голяма от основната тройка, известна от дълбока древност $3\,,4\,,5$. И така имаме четири последователни числа $12$, $13$, $14$ и $15$!
Лицето на основата ще намериш лесно, като знаеш страната $14$ и височината към нея - $12$.
Второто нещо, което трябва да се съобрази в тази задача - височините на триъгълниците, които са околни стени, са равни Доказва се сравнително лесно, като ги изразиш чрез височината на пирамидата $h$ и ъгъла, който сключват равнините на околните стени с равнината на основата $60^\circ \rightarrow h_1=h_2=h_3=h.\sin 60^\circ$
Това води до много важния извод (също използван в много задачи), че тези височини се проектират в радиуси на вписаната в основата окръжност. Този радиус, от своя страна, може да бъде намерен от формулата $S=p.r$, при положение, че лицето е намерено по-горе, а полупериметърът е равен на $\frac {13+14+15}2=21$
Намирайки радиуса $r$ (оставям малко работа и за тебе ), височините на околните стени са лесни за намиране: $h_1=h_2=h_3=r.\cos 60^\circ=\frac{r}2$
Вече можем да намерим околната повърхнина, а като прибавим лицето на основата - и пълната повърхнина на пирамидата.