Пирамиди

[Milenaa]

Може ли помощ?

[Nathi123]

зад.22. Нека пирамидата е ABCDP с основа трапеца ABCD ; AD=BC=a; [tex]\angle DAB=\angle ABC = \alpha[/tex].
Околните стени сключват равни ъгли с основата. От тук следва,че върхът Р се проектира ортогонално в центъра О на вписаната в трапеца окръжност и височините в околните стени към основните ръбове са равни.
Т.е. [tex]PO\bot (ABC) ; AB + CD = AD + BC[/tex] (ABCD - описан около окръжност).Нека АМ = МВ и DN = NC.
[tex]\Rightarrow MN\bot AB ; MN= 2r[/tex] ( r - радиус на вп. в ABCD окр.)[tex]S_{ABCD } = \frac{2a.MN}{2}[/tex]
Построяваме СН[tex]\bot AB\Rightarrow CH = MN =2r; \Delta CHB\Rightarrow \frac{CH}{BC}= sin\alpha \Rightarrow CH=2r=asin\alpha[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{ABCD } = a^{2}sin\alpha ; \Delta OMP\Rightarrow \angle OMP=\beta ; \angle POM=90^\circ ; OM=r \Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{r}{PM} = cos\beta \Rightarrow PM = \frac{r}{cos\beta} = \frac{asin\alpha}{2cos\beta} . S_{околна } =\frac{1}{2}(AB + BC + CD + AD ).PM[/tex]
[tex]S_{околна } =\frac{a^{2}sin\alpha}{cos\beta}\Rightarrow S_{пълна } = S_{околна } + S_{ABCD } = \frac{a^{2}sin\alpha}{cos\beta} + a^{2}sin\alpha[/tex]
[tex]S_{пълна } =\frac{a^{2}sin\alpha(1+cos\beta)}{cos\beta} = \frac{2a^{2}sin \alpha cos^{2}\frac{\beta}{2}}{cos\beta}[/tex].

[Nathi123]

20. зад. Нека пирамидата е ABCD ; BD=a,CD=b,AD=c. По условие [tex]BD\bot AD, BD\bot CD ; AD\cap CD= D\Rightarrow BD\bot (ACD)[/tex]
[tex]\Rightarrow V_{ABCD }= \frac{S_{ACD.BD }}{3}=\frac{1}{2.3}CD.BD.BD=\frac{abc}{6} . ( S_{ACD }=\frac{AD.CD}{2}=\frac{bc}{2}; CD\bot AD[/tex] - по усл .)
[tex]BD\bot (ACD) \Rightarrow BD\bot AC ;[/tex] построяваме [tex]DD_{1 }\bot (ABC) \Rightarrow V_{ABCD }=\frac{S_{ABC }DD_{1 }}{6}\Rightarrow[/tex]
[tex]abc=S_{ABC }DD_{1 }\Rightarrow DD_{1 } = \frac{abc}{S_{ABC }} ; BD_{1 }\cap AC=H ; BH\bot AC[/tex] ( т-ма за 3-те перпендикуляра).
[tex]BD\bot (ACD) \Rightarrow AC\bot BD; AC\bot BH \Rightarrow AC\bot (BHD) \Rightarrow DH\bot AC[/tex].
[tex]\Rightarrow 2S_{ACD }=CD.AD=AC.DH\Rightarrow DH=\frac{bc}{AC} ; \Delta ACD\Rightarrow AC^{2}=b^{2}+c^{2}[/tex] ( Т-ма на Питагор)
[tex]\Rightarrow AC=\sqrt{b^{2}+c^{2}} ; BD\bot DH\Rightarrow BH^{2}= DH^{2}+BD^{2} ; ( \Delta BDH) \Rightarrow BH=\sqrt{\frac{b^{2}c^{2}}{b^{2}+c^{2}}+a^{2}}[/tex]
[tex]\Rightarrow BH=\frac{\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}\Rightarrow S_{ABC }=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{b^{2}+c^{2}}.\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}} = \sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}[/tex].
[tex]\Rightarrow DD_{1 } = \frac{abc}{\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}} .[/tex]

[Milenaa]

Nathi много ти благодаря!Златна си!!!

[Milenaa]

20. зад. Нека пирамидата е ABCD ; BD=a,CD=b,AD=c. По условие [tex]BD\bot AD, BD\bot CD ; AD\cap CD= D\Rightarrow BD\bot (ACD)[/tex]
[tex]\Rightarrow V_{ABCD }= \frac{S_{ACD.BD }}{3}=\frac{1}{2.3}CD.BD.BD=\frac{abc}{6} . ( S_{ACD }=\frac{AD.CD}{2}=\frac{bc}{2}; CD\bot AD[/tex] - по усл .)
[tex]BD\bot (ACD) \Rightarrow BD\bot AC ;[/tex] построяваме [tex]DD_{1 }\bot (ABC) \Rightarrow V_{ABCD }=\frac{S_{ABC }DD_{1 }}{6}\Rightarrow[/tex]
[tex]abc=S_{ABC }DD_{1 }\Rightarrow DD_{1 } = \frac{abc}{S_{ABC }} ; BD_{1 }\cap AC=H ; BH\bot AC[/tex] ( т-ма за 3-те перпендикуляра).
[tex]BD\bot (ACD) \Rightarrow AC\bot BD; AC\bot BH \Rightarrow AC\bot (BHD) \Rightarrow DH\bot AC[/tex].
[tex]\Rightarrow 2S_{ACD }=CD.AD=AC.DH\Rightarrow DH=\frac{bc}{AC} ; \Delta ACD\Rightarrow AC^{2}=b^{2}+c^{2}[/tex] ( Т-ма на Питагор)
[tex]\Rightarrow AC=\sqrt{b^{2}+c^{2}} ; BD\bot DH\Rightarrow BH^{2}= DH^{2}+BD^{2} ; ( \Delta BDH) \Rightarrow BH=\sqrt{\frac{b^{2}c^{2}}{b^{2}+c^{2}}+a^{2}}[/tex]
[tex]\Rightarrow BH=\frac{\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}\Rightarrow S_{ABC }=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{b^{2}+c^{2}}.\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}} = \sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}[/tex].
[tex]\Rightarrow DD_{1 } = \frac{abc}{\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}} .[/tex]

AD∩CD=D⇒BD⊥(ACD) това е така по теорема нали

[Nathi123]

Да ,това е теорема,която гласи,че ако права в пространството е перпендикулярна на две пресекателни прави от дадена равнина,то правата е перпендикулярна на равнината.