Пирамиди

[Milenaa]

Ех, тази стереометрия... тъмна Индия

[S.B.]

Означи пирамидата ABCDM,където М е върхът.AB=BC=CD=DA =a;Триъгълникът ADM е правоъгълен и равнобедрен защото по условие ABM сключва с равнината на основата 45[tex]^\circ[/tex] следователно AD=DM=a
Триъгълникът ABM е правоъгълен,защото според теоремата на трите перпендикуляра :AD - проекция на AM,AB[tex]\bot[/tex] AD,следователно AB[tex]\bot[/tex]АМ.
За триъг. ADM: AD=DM=a; по Питагор AM=a[tex]\sqrt{2}[/tex]
За триъг.ABM: АB=a,AM=a[tex]\sqrt{2}[/tex] BM=l; По Питагор l=a[tex]\sqrt{3}[/tex],от където изразявам a=[tex]\frac{l}{3}[/tex].[tex]\sqrt{3}[/tex].
Тъй като триъг.ADM[tex]\cong[/tex]DCM и ABM[tex]\cong[/tex]BCM то за пълната повърхнина имаме:
2.S[tex]\Delta[/tex]ADM +2.S[tex]\Delta[/tex] ABM+ S на ABCD
2.[tex]a^{2}[/tex].[tex]\frac{1}{2}[/tex]+2.a.a[tex]\sqrt{2}[/tex].[tex]\frac{1}{2}[/tex]+[tex]a^{2}[/tex]=[tex]a^{2}[/tex](2+[tex]\sqrt{2}[/tex])
Като имаш предвид, че получихме,че a=[tex]\frac{l}{3}[/tex].[tex]\sqrt{3}[/tex] получаваш S= [tex]\frac{1}{3}[/tex].[tex]l^{2}[/tex].(2+[tex]\sqrt{2}[/tex])
За обема :
V= [tex]a^{3}[/tex].[tex]\frac{1}{3}[/tex] Или като заместиш V=[tex]\frac{1}{3}[/tex].[tex]l^{3}[/tex].[tex]\sqrt{3}[/tex].[tex]\frac{1}{27}[/tex]
За обема замести внимателно,понеже нещо не се оправям с бутоните както трябва.

[S.B.]

Зад.15
Означаваш пирамидата с ABCM,където M е върха.В равнината на основата,която е равностранен триъгълник,прекарваш C[tex]C_{1 }[/tex] [tex]\bot[/tex] AB;Спускаш височината MH към основата на пирамидата,където H[tex]\in[/tex]C[tex]C_{1 }[/tex],Прекарваш и височината CP[tex]\bot[/tex]към стената ABM на пирамидата.P[tex]\in[/tex]M[tex]C_{1 }[/tex] и CP=b по условие.
От това,че ABC е равностранен получаваш CC1=CB.sin60,следователно CC1= [tex]\frac{a}{2}[/tex].[tex]\sqrt{3}[/tex].
т.H е пресечна точка на медианите в ABC следователно CH:HC1 = 2:1 от тук HC1=[tex]\frac{1}{3}[/tex].CC1 т.е.HC1=[tex]\frac{a}{6}[/tex].[tex]\sqrt{3}[/tex].
Построяваш равнина {CC1M} , и разглеждаш триъгълника CC1M. В този триъгълник MH e височината на пирамидата през върха M и CP е ви8сочината на пирамидата през върха C,която по условие CP=b
Нека <CC1М=[tex]\varphi[/tex].Тогава от триъг.C1CP имаме [tex]\frac{CP}{CC1}[/tex]=sin[tex]\varphi[/tex],или b=[tex]\frac{a}{2}[/tex].[tex]\sqrt{3}[/tex].sin[tex]\varphi[/tex], от където sin[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{2b}{3a}[/tex].[tex]\sqrt{3}[/tex].
От тригонометр. равнство: [tex]sin^{2}[/tex][tex]\varphi[/tex]+[tex]cos^{2}[/tex][tex]\varphi[/tex]=1 получаваш
[tex]cos^{2}[/tex][tex]\varphi[/tex]=(3[tex]a^{2}[/tex]- 4[tex]b^{2}[/tex]):3.[tex]a^{2}[/tex] =[tex]K^{2}[/tex]
Тогава tg[tex]\varphi[/tex]= sin[tex]\varphi[/tex]:cos[tex]\varphi[/tex] или tg[tex]\varphi[/tex]=([tex]\frac{2b}{3a}[/tex].[tex]\sqrt{3}[/tex]):K
Отново към триъгълника CC1M: HM=tg[tex]\varphi[/tex].C1H от където се получава MH - височината на пирамидaта.
Остава само да се замести във формулата за обем.
Много съжалявам,че не мога да разпиша задачата до края,но е много трудно да се работи с толкова много формули.
Вярвам,че основното от задачата съм показала.

[S.B.]

ЗАд.16
Означаваш пирамидата ABCM,като M е върхът.Пирамидата е правилна,триъгълна - следователно основата ABC е равностранен триъгилник,върхът M се проектира в точка H от основата,която се явява както медицентър на ABC така и център на вписаната в ABC окръжност.
Прекарваш CN[tex]\bot[/tex]АB.,NM - апотема в страната ABM, построяваш равнина през апотемата MN и околния ръб MC и получаваш сечение триъгълника NCM; Нека основния ръб бележим с "а",а апотемата с "К"
От условието имаш вписана в основата окръжност за която [tex]\pi[/tex].[tex]R^{2}[/tex]=R [tex]\Rightarrow[/tex]R(R-1)=0,но R[tex]\ne[/tex]0
следователно R=1/[tex]\pi[/tex]
NH=[tex]\frac{1}{3}[/tex].CN=[tex]\frac{1}{3}[/tex].[tex]\frac{a}{2}[/tex].[tex]\sqrt{3}[/tex] NH=[tex]\frac{a}{6}[/tex].[tex]\sqrt{3}[/tex]
но NH=R,a R=1/[tex]\pi[/tex] следователно [tex]\frac{a}{6}[/tex].[tex]\sqrt{3}[/tex]=1/[tex]\pi[/tex],от тук получаваме а=2.[tex]\sqrt{3}[/tex]/[tex]\pi[/tex]
По условие S околна =3.S основата -
[tex]\frac{3aК}{2}[/tex]=[tex]\frac{3}{4}[/tex].[tex]а^{2}[/tex].[tex]\sqrt{3}[/tex] [tex]\rightarrow[/tex]К=[tex]\frac{a}{2}[/tex][tex]\sqrt{3}[/tex],
но a=2[tex]\sqrt{3}[/tex]/[tex]\pi[/tex] от където получаваме K=3/[tex]\pi[/tex]
От триъг.NHM (правоъгълен) :[tex]HM^{2}[/tex]=[tex]K^{2}[/tex]-[tex]R^{2}[/tex] като заместим получаваме HM=2.[tex]\sqrt{2}[/tex]/[tex]\pi[/tex]
Окончателно V=Sосновата. MH.[tex]\frac{1}{3}[/tex] Или V= 2.[tex]\sqrt{6}[/tex]/[tex]\pi[/tex].[tex]\pi[/tex].[tex]\pi[/tex]