Разстояние между кръстосани прави

[ivan_ivov]

Даден е куб [tex]ABCDA_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 }[/tex], с дължина на ръба 1 ([tex]ABCD[/tex] основа, а [tex]AA_{1 }, BB_{1 }, CC_{1 }, DD_{1 }[/tex] са околни ръбове). Да се намерят ъгълът и разстоянието между правите [tex]AC[/tex] и [tex]BC_{1 }[/tex].
Ще съм благодарен ако някой я опише подробно, как се определя ос-отсечката и намирането на нейната дължина.

[Nathi123]

[tex]ABCDA_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 }[/tex] куб [tex]\Rightarrow AC||A_{1 }C_{1 }; AC=A_{1 }C_{1 }=\sqrt{2}[/tex] ( Т на Питагор за триъг. АВС) .
[tex]\Rightarrow \angle (AC,BC_{1 })=\angle A_{1 }C_{1 }B = 60^\circ[/tex] защото диагоналите във всички стени на куба са равни помежду си и са равни на
[tex]\sqrt{2}\Rightarrow A_{1 }C_{1 }=A_{1 }B=BC_{1 }=\sqrt{2}\Rightarrow \Delta BC_{1 }A_{1 }[/tex] е равностранен и ъглите му са по 60 [tex]^\circ[/tex].
При определяне на ос отсечката може да се използва ,че ако проектираме ортогонално едната права в равнина успоредна на нея и съдържаща другата права,то ортогоналната проекция е успоредна на правата. ( която проектираме). Така ,ако построим ортогоналната проекция само на една точка от тази права върху равнината и след това в тази равнина построим права успоредна на проектираната права,тя ще е търсената проекция и тази проекция ще пресича другата права в дадена точка.От тази точка построяваме права успоредна на първия перпендикуляр към равнината .Тя ще пресича кръстосаната права в дадена точка. Така получената отсечка е търсената ос - отсечка.
В конкретния случай AC||[tex]( A_{1 }C_{1 }B)=\alpha ; BC \in \alpha .[/tex] Сега трябва да построим ортогоналната проекция на АС върху [tex]\alpha[/tex].
Някои означения : [tex]AC\cap BD=O; A_{1 }C_{1 }\cap B_{1 }D_{1 }=O_{1 }\Rightarrow (BDD_{1 }B_{1 })\cap \alpha = BO_{1 }[/tex].
[tex]AC\bot BD; BB_{1 }\bot AC\Rightarrow AC \bot (BDD_{1 }B_{1 }) ;[/tex] В [tex](BDD_{1 }B_{1 })[/tex] построяваме ОН[tex]\bot BO_{1 }[/tex]
[tex]\Rightarrow OH \bot AC ; AC|| A_{1 }C_{1 } \Rightarrow OH\bot \alpha .[/tex] През т.Н в [tex]\alpha[/tex] построяваме права m || [tex]A_{1 }C_{1 }\Rightarrow m||AC[/tex] и m е ортогоналната проекция на АС в [tex]\alpha ; m\cap BC_{1 } = M; MM_{1 }|| OH; M_{1 }\in AC \Rightarrow OH=MM_{1 }[/tex] и [tex]MM_{1 }[/tex] - търсената ос отсечка.
В равнината [tex](BDD_{1 }B)[/tex] от правоъг. триъг. [tex]OBO_{1 }[/tex] се определя височината към хипотенузата му
[tex]ОН =\frac{\sqrt{3}}{3}; OH= MM_{1 }=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex].