стереометрия :)))

[Milenaa]

1зад. Лицата на основите на пресечена пирамида са В и В1 (В>В1), а обемът V. Намерете обема на пълната пирамида.
ОТГ.[tex]\frac{VB\sqrt{B}}{B\sqrt{B}-B\sqrt{B1}}[/tex]

2зад. Намерете разстоянието между средите на два кръстосани ръба на куб, чиято пълна повърхнина е 36кв.м.
ОТГ.3

3зад. Даден е куб АBCDA1B1C1D1 с основен ръб а. През диагонала АС е построена равнина, успоредна на ВО1, където О1 е център на стената A1B1C1D1. Намерете лицето на полученото сечение.
ОТГ.[tex]\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}[/tex]
4зад. Сечението на куб с равнина е правилен шeстоъгълник с лице Q . Намерете лицето на повърхнината на куба.
ОТГ. [tex]\frac{8Q\sqrt{3}}{3}[/tex]

5зад. Основата на пирамида е успоредник със страни 10см и 18 см и лице 90кв.см. Височината на пирамидата е 6см и минава през пресечната точка на диагоналите на основата.Намерете лицето на околната повърхнина на пирамидата.
ОТГ. 192кв.см

[KOPMOPAH]

1. Задача

Отнякъде (уроци, спомени, Интернет, Фейсбук...) взимаме формулата, даваща обема на пресечена пирамида
$V = \frac{h}{3}(B+B_1+\sqrt{B B_1})$, откъдето получаваме височината на пресечената пирамида $h=\frac{3V}{ B+B_1+\sqrt{B B_1}}$

За изучаващите стереометрия е безспорно известно, че всяко успоредно сечение на пирамида е многоъгълник, подобен на основата и. Отношението на лицата на всеки две успоредни сечения на пирамида е равно на отношението на квадратите на разстоянията от върха на пирамидата до равнините на сеченията. Ако означим височината на допълнителната пирамида (тази, която се изрязва от пълната, за да остане пресечената) с $h_1$, ще получим съотношението $B_1:B=h_1^2:(h_1+h)^2$, откъдето следва $h_1=\frac{h\sqrt B_1}{\sqrt B-\sqrt {B_1}}$
Обемът на пълната пирамида намираме по формулата за обем на пирамида $V_1 = \frac{H}{3}\cdot B=\frac{h_1+h}{3}\cdot B=\frac{\frac{h\sqrt B_1}{\sqrt B-\sqrt {B_1}}+h}{3}\cdot B=\frac{h\sqrt B}{3(\sqrt B-\sqrt {B_1})}\cdot B=\frac{\frac{3V}{ B+B_1+\sqrt{B B_1}}\sqrt B}{3(\sqrt B-\sqrt {B_1})}\cdot B=\frac{VB\sqrt B}{(\sqrt B-\sqrt {B_1})(B+B_1+\sqrt{B B_1})}$
Получи се страшничък израз, който може и да е правилният отговор.
Отговорът, който си дала към задачата, очевидно е неверен, защото допуска съкратяване в числителя и знаменателя на $B$

[Milenaa]

Да,извинявам се В[tex]\sqrt{В}[/tex]-В1[tex]\sqrt{В1}[/tex]
Благодаря

[Nathi123]

2.зад. Нека ръбът на куба е с дължина х см. Той има 6 стени,които са еднакви квадрати с лице
[tex]x^{2}\Rightarrow 6x^{2}=36\Rightarrow x^{2}=6\Rightarrow x=\sqrt{6}[/tex].
Нека М е среда на AD,a N - среда на [tex]CC_{1 }\Rightarrow (ADN)\cap (BCC_{1 })=NP ; P\in BB_{1 } ; BC||AD\Rightarrow NP||BC[/tex].
[tex]\Delta MDC[/tex] и Т на Питагор[tex]\Rightarrow MC^{2}=MD^{2}+DC^{2}=6+\frac{6}{4}=\frac{15}{2};[/tex] Аналогично от
[tex]\Delta MNC\Rightarrow MN^{2}=\frac{15}{2} + \frac{6}{4} = 9\Rightarrow MN = 3 cm.[/tex]

[Nathi123]

3.зад. ABCD[tex]A_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 }[/tex] куб с ръб а[tex]\Rightarrow AC=BD=A_{1 }C_{1 }=B_{1 }D_{1 }=a\sqrt{2} ; AC\cap BD=O[/tex].
Нека равнината минаваща през AC и || [tex]BO_{1 }[/tex] e [tex]\alpha ; \alpha\cap BD и AC = O; D_{1 }O_{1 }=\frac{1}{2}B_{1 }D_{1 }=\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex].
[tex]BO=\frac{1}{2}.BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}; BO||O_{1 }D_{1 }\Rightarrow OBO_{1 }D_{1 }[/tex] - успоредник [tex]\Rightarrow BO_{1 }||OD_{1 }[/tex]
[tex]\Rightarrow \alpha \cap (ADD_{1 })=AD_{1 } ;\alpha\cap (CDD_{1 })=CD_{1 }\Rightarrow[/tex] сечението на равн .[tex]\alpha[/tex] с куба е триъг.
[tex]ACD_{1 }. BD\bot AC \Rightarrow OD_{1 }\bot AC[/tex] ( Т -ма за трите перпенд.) [tex]\Rightarrow S_{\Delta ACD_{1 }}=\frac{1}{2}AC.BD_{1 }.[/tex]
[tex]\Delta DOD_{1 }\Rightarrow D_{1 }O^{2}=DD_{1 }^{2}+DO^{2}=a^{y}+\frac{2a^{y}}{4}=\frac{3a^{2}}{2}\Rightarrow D_{1 }O=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{\Delta ACD_{1 } }=\frac{1}{2}a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}[/tex].

[KOPMOPAH]

4. Задача

Сечение_шестоъгълник.png (7.81 KiB) Прегледано 472 пъти

Върховете на сечението, което е правилен шестоъгълник, са средите на ръбовете на куба (е, не на всичките, а само на 6 от тях ). Ако означим страната на шестоъгълника с $x$, ще получим $Q=6\cdot\frac {x^2 \sqrt 3}4$, откъдето $x^2=\frac{2 Q \sqrt 3}9$. Ръбът на куба може да бъде изразен чрез $x$, в случая става $x\sqrt 2$, лицето на една стена e $(x\sqrt 2)^2=2x^2=2\cdot \frac{2 Q \sqrt 3}9=\cdots$, а стените са общо $6$ ... нататък сама

[KOPMOPAH]

5. Задача

По условие страните са $10$ и $18$, а лицето $180$. Значи височината на основата към страната $18$ е $5$, а към страната $10$ - съответно $9$. Покрай това можем и да намерим острия ъгъл на успоредника, че е равен на $30^\circ$, ама за решението не ни трябва
По Питагорова теорема намираме апотемите на околните стени, изразени чрез височината на пирамидата и половинките от височините към страните (защото височината минава през пресечената точка на диагоналите). След като сме намерили апотемите, намираме лицата на околните стени, а като ги съберем - и търсената околна повърхнина.

[Milenaa]

Много Ви благодаря !!! Спасявате ме !!! )))