Тетраедър

[Demira]

1) Основният ръб на правилна триъгълна пирамида е b, а височината през основен връх към срещулежаща околна страна е h. Да се намери обемът на пирамидата.

2) Разстоянието от центъра на основата до околен ръб на правилна триъгълна пирамида е p. Да се намери обемът на пирамидата, ако двустенният и ъгъл при основен ръб е [tex]\alpha[/tex]

[S.B.]

Зад.1) Означаваш пирамидата ABCD,където ABC е основата,а D върха.Нека CM [tex]\bot[/tex]AB,като M[tex]\in[/tex]AB:Построяваш сечението CMD (по пресичащите се прави DC и CM) Построяваш CH[tex]\bot[/tex]MD,като H[tex]\in[/tex]MD.Получената височина CH = h.От [tex]\triangle[/tex]ABC,равностранен със страна =b,получаваш CM=[tex]\frac{b\sqrt{3}}{2}[/tex]Построяваш DO[tex]\bot[/tex]CM,която се явява височина на пирамидата.Тъй като т.O в основата се явява медицентър то MO=[tex]\frac{1}{3}[/tex]CM или MO=[tex]\frac{b\sqrt{3}}{6}[/tex]
Разглеждаш [tex]\triangle[/tex]MCH ,правоъгълен.Нека [tex]\angle[/tex]HMC = [tex]\varphi[/tex].Намираш,че sin[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{CH}{CM}[/tex] или sin[tex]\varphi[/tex] = [tex]\frac{2h\sqrt{3}}{3b}[/tex]
Разглеждаш [tex]\triangle[/tex]MOD,правоъгълен.[tex]\frac{DO}{MO}[/tex]= = tg[tex]\varphi[/tex] и височината на пирамидата DO=tg[tex]\varphi[/tex].[tex]\frac{b\sqrt{3}}{6}[/tex]. Знаеш sin[tex]\varphi[/tex] и за да намериш tg[tex]\varphi[/tex] намираш cos[tex]\varphi[/tex] от основното тригонометрично равенство [tex]sin\varphi^{2}[/tex] + [tex]cos\varphi^{2}[/tex] = 1
cos[tex]\varphi[/tex] =[tex]\frac{1}{b\sqrt{3}}[/tex].[tex]\sqrt{3b^{2} - 4h^{2}}[/tex]От където tg[tex]\varphi[/tex]= [tex]\frac{2h}{\sqrt{3b^{2} - 4h^{2}}}[/tex]; DO=[tex]\frac{bh\sqrt{3}}{3}[/tex] . [tex]\frac{1}{\sqrt{3b^{2} - 4h^{2}}}[/tex]
V =[tex]\frac{1}{3}[/tex] [tex]S_{ABC }[/tex].DO знаеш,че [tex]S_{ABC }[/tex] = [tex]\frac{b^{2}.\sqrt{3}}{4}[/tex],и намираш
V = [tex]\frac{b^{3}.h}{12.\sqrt{3b^{2} - 4h^{2}}}[/tex]

[S.B.]

Зад.2)Означаваш пирамидата с ABCD,като ABC е основата и D - върхът.Пирамидата е правилна триъгълна и центърът на основата,който бележа с т.O съвпада с медицентъра.Построяваш MC[tex]\bot[/tex]AB,така,че M[tex]\in[/tex]AB.Построяваш сечението MCD в което ще работиш.Точка О[tex]\in[/tex]MC,тъй като основата е равностранен[tex]\triangle[/tex] и височините съвпадат с медианите.Построяваш OD[tex]\bot[/tex]MC и OP[tex]\bot[/tex]DC;OP=p;[tex]\angle[/tex]DMC=[tex]\alpha[/tex],а [tex]\angle[/tex]MCD означаваш с [tex]\varphi[/tex]
Ако основният ръб бележиш с a,тогава MC=[tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex],а частоте на които се дели от т.O са : OM=[tex]\frac{a\sqrt{3}}{6}[/tex] и CO=[tex]\frac{a\sqrt{3}}{3}[/tex]
От [tex]\triangle[/tex]MOD [tex]\rightarrow[/tex] [tex]\frac{OD}{OM}[/tex]=tg[tex]\alpha[/tex] и tg[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{6.OD}{a\sqrt{3}}[/tex]
От [tex]\triangle[/tex]OCD[tex]\rightarrow[/tex] [tex]\frac{OD}{OC}[/tex]=tg[tex]\varphi[/tex] и tg[tex]\varphi[/tex] = [tex]\frac{3.OD}{a\sqrt{3}}[/tex]
От тези две равенства следва,че tg[tex]\varphi[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex]tg[tex]\alpha[/tex]
От правоъг.[tex]\triangle[/tex]OCP [tex]\rightarrow[/tex] [tex]\frac{OP}{PC}[/tex]= tg[tex]\varphi[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex]tg[tex]\alpha[/tex]
PC= [tex]\frac{2p}{tg\alpha}[/tex] По Питагор : [tex]OP^{2}[/tex] +[tex]PC^{2}[/tex]=[tex]OC^{2}[/tex] или [tex]p^{2}[/tex] + [tex]\frac{4p^{2}}{tg\alpha^{2}}[/tex] = [tex]\frac{a^{2}}{3}[/tex], от където a=[tex]\frac{p\sqrt{3}}{tg\alpha}[/tex].[tex]\sqrt{tg\alpha^{2} + 4}[/tex]
Заместваш и получаваш OD= [tex]\frac{p}{2}[/tex].[tex]\sqrt{tg\alpha^{2} + 4}[/tex];[tex]S_{ABC }[/tex]= [tex]\frac{3\sqrt{3}p^{2}}{4tg\alpha^{2}}[/tex].([tex]tg\alpha^{2}[/tex] + 4) И накрая V=[tex]\frac{1}{3}[/tex].[tex]S_{ABC }[/tex].OD
Мисля,че няма да се затрудниш сама да заместиш и да получиш отговора.
Не зная дали добре съм се справила с LATEX и може да има някаква грешка,но важното е да разбереш,че неизвестния [tex]\angle[/tex][tex]\varphi[/tex] изразяваш чрез известния [tex]\angle[/tex][tex]\alpha[/tex]