Развивка на околна повърхнина на цилиндър

[summ]

Развивката на околната повърхнина на цилиндър е квадрат.Да се намери ъгълът х между диагоналите на осното сечение на цилиндъра.

[KOPMOPAH]

Приемаме, че радиусът на цилиндъра е $1$. Квадратът е с размери $h \times 2\pi$, откъдето $h= 2\pi$. Осното сечение е правоъгълник с размери $h \times 2=2\pi \times 2$.
По Питагорова теорема диагоналът е $2\sqrt {\pi^2+1}$, половината - съответно $\sqrt {\pi^2+1}$.
Прилагаме косинусова теорема за триъгълника, образуван от половинките на двата диагонала и диаметъра на основата.
$\pi^2+1+\pi^2+1-2(\pi^2+1)(\pi^2+1)\cos\varphi=4$, след извършване на действията $\cos \varphi=\frac{\pi^2-1}{\pi^2+1}$

[ptj]

Браво, макар и с малка техническа грешка на последния ред.

Косинусовата теорема може да се смени и с тригонометрична функция. Ако въведем ъгъла [tex]\alpha[/tex] между диагонал и проекцията му в основата (диаметър), то [tex]\varphi=180^\circ-2\alpha[/tex].

[tex]cos\varphi=cos(180^\circ-2\alpha)=-cos(2\alpha)=-(1-2sin^2(\alpha)=-1+2\frac{\pi^2}{\pi^2+1}=\frac{\pi^2-1}{\pi^2+1}=1-\frac{2}{\pi^2+1}[/tex]