Пресичащи се цилиндри

[KOPMOPAH]

Два цилиндъра с радиуси $R$ и височини $2R$ се пресичат под прав ъгъл, като осите им лежат в една равнина. Да се намери обемът на полученото тяло.
Тези, които бързо решат задачата, да построят трети такъв цилиндър, чиято ос минава през пресечената точка на другите две и е перпендикулярна на равнината им. Да се намери обемът на тялото, получено при новото сечение.

[ptj]

Имаш нужда от малко доуточнение на условието. Сферата, която мислиш за сечение, може да не се включва изцяло в цилиндрите.

[KOPMOPAH]

Уточнението е, че сферата, която мислиш за сечение, НЕ е сфера, а малко по-сложно тяло. В подкрепа на казаното си представи сечение на въпросното тяло с равнина, перпендикулярна на равнината на осите и под ъгъл $45^\circ$ с всяка от тях. Това сечение безспорно е елипса, а сферата няма такова сечение с равнина, че да се получи елипса по никакъв начин... Затова сложих в условието $H=2R$, но може да се реши и при $\forall H \ge 2R$

[ptj]

Общата част в първия случай е се състои от 2 еднакви половинки от цилиндри с основа окръжност с радиус R и височина 2R (разделени посредством равнина под ъгъл [tex]45^\circ[/tex] спрямо основата). Т.е. обема на общата част е равен на обема на единия цилиндър.

Докато в случая с 3 цилиндъра 3-те ортогонални проекции (в равнините на основите) ще са окръжности, но парадокса е че общия обем отново трябва да остане същия, отново по аналогия с предния случай делим сечението от него с равнина под ъгъл [tex]45^\circ[/tex].

[KOPMOPAH]

Грешиш.
Общата част НЕ Е СФЕРА, както вече стана дума някъде.
Ето една картинка, която да ти подскаже решението:

Пресичащи се цилиндри.jpg (56.66 KiB) Прегледано 765 пъти

Безспорно точките $A$, $B$ и $C$ принадлежат и на двата цилиндъра, както и на елипсите, които са от сечението. Вижда се колко са далече от сферата, оцветена в синьо...

[KOPMOPAH]

Гледаме чертежа по-горе.
Всяко сечение на тялото с равнина, успоредна на осите на цилиндрите, е квадрат (което е достатъчно основание да не считаме тялото за сфера ), като най-големият от тях (отбелязан на чертежа $ABCD$) има страна $2R$. Синята сфера $S$ има радиус $R$ и е вписана за тялото $P$, чийто обем търсим толкова време. Всяка равнина, успоредна на $ABCD$, пресича тялото $P$ в квадрат, сферата $S$ — в кръг, вписан в този квадрат.
Ако страната на квадрата от някое сечение е $b$, то радиусът на вписаната в него окръжност е $\frac b2$, следователно съотношението на лицата на квадрата и кръга е $\frac{b^2}{\pi.\left(\frac b2\right)^2}=\frac 4{\pi}$
От принципа на Кавалиери следва, че търсеният обем $V$ на тялото $P$ е $\frac 4{\pi}$ пъти по-голям от обема на сферата $S$, т. е.
$V = \frac 4{\pi}.\frac 43 \pi R^3=\frac {16}3 R^3$