Правилна четириъгълна пирамида с вписан куб

[mito450]

В правилна четириъгълна пирамида е вписан куб, така че четирите му върха са върху апотемите на пирамидата, а другите четири - в равнината на основата. Всички ръбове на пирамидата са с дължина a. Намерете лицето на повърхнината и обема на куба.

Отг.: [tex]\frac{3а^{2}}{4}[/tex] ;[tex]\frac{a^{3}\sqrt{2}}{32}[/tex]

[S.B.]

Нека пирамидата е ABCDE,където кавадратът ABCD е основа,а E е връх.Вписан е куб MNPQ[tex]M_{1 }[/tex][tex]N_{1 }[/tex][tex]P_{1 }[/tex][tex]Q_{1 }[/tex],като върховете [tex]М_{1 }[/tex][tex]N_{1 }[/tex][tex]P_{1 }[/tex][tex]Q_{1 }[/tex] лежат съответно на апотемите на стените ADE,ABE,BCE и DCE,а върховете M,N,P и Q върху основата на пирамидата. Нека [tex]EE_{1 }[/tex] и [tex]EE_{2 }[/tex] са апотеми съответно в стените ADE и BCE;[tex]\triangle[/tex]ADE и [tex]\triangle[/tex]BCE са равностранни със страна = a [tex]\Rightarrow[/tex][tex]EE_{1 }[/tex] = [tex]EE_{2 }[/tex] = [tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex];Построявам равнина [tex]\gamma[/tex] през [tex]EE_{1 }[/tex] и [tex]EE_{2 }[/tex] която отсича от пирамидата сечението [tex]\triangle[/tex]E[tex]E_{1 }[/tex][tex]E_{2 }[/tex],в който е вписан правоъгълник MP[tex]P_{1 }[/tex][tex]M_{1 }[/tex], който е диагоналното сечение на куба.
Ако страната на куба = х,тогава MP = [tex]M_{1 }[/tex][tex]P_{1 }[/tex] = х[tex]\sqrt{2}[/tex],M[tex]M_{1 }[/tex] = P[tex]P_{1 }[/tex] = x;ЕО[tex]\bot[/tex][tex]Е_{1 }[/tex][tex]Е_{2 }[/tex],като т.О[tex]\in[/tex][tex]Е_{1 }[/tex][tex]Е_{2 }[/tex] ; ЕО X [tex]М_{1 }[/tex][tex]P_{1 }[/tex] = т.[tex]О_{1 }[/tex]
От [tex]\triangle[/tex]О[tex]Е_{2 }[/tex]Е по Питагор : [tex]ЕО^{2}[/tex] = [tex]ЕЕ_{2 }^{2}[/tex] - [tex]ОЕ_{2 }^{2}[/tex] или [tex]OE^{2}[/tex] = [tex](\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2}[/tex] - [tex](\frac{a}{2})^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] ОЕ= [tex]\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]\triangle[/tex][tex]Е_{1 }[/tex][tex]Е_{2 }[/tex]Е [tex]\approx[/tex] [tex]\triangle[/tex][tex]М_{1 }[/tex][tex]P_{1 }[/tex]E [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{E_{1 }E_{2 }}{M_{1 }P_{1 }}[/tex] = [tex]\frac{OE}{O_{1 }E}[/tex] или [tex]\frac{a}{х\sqrt{2}}[/tex] = [tex]\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2} - х}[/tex] от където след преобразуване получаваме х = [tex]\frac{a\sqrt{2}}{4}[/tex]
[tex]S_{куба }[/tex] = 6[tex]x^{2}[/tex] = 6.[tex](\frac{a\sqrt{2}}{4})^{2}[/tex] = [tex]\frac{3а^{2}}{4}[/tex] , [tex]V_{куба }[/tex] = [tex]x^{3}[/tex] = [tex]\frac{а^{3}\sqrt{2}}{32}[/tex]