Равностранен цилиндър

[ева]

Равностранен цилиндър и кълбо са равнообемни. Да се намери отношението на повърхнините им.

[S.B.]

Равностранен цилиндър е цилиндър при който [tex]2r = h[/tex],където r - радиус на цилиндъра,h - височина на цилиндъра;Нека R - радиус на кълбото;
[tex]V_{ц } = \pi r^{2}.h = \pi r^{2}.2r = 2\pi r^{3}[/tex] ; [tex]V_{к } = \frac{4}{3}\pi R^{3}[/tex];
[tex]V_{ц } = V_{к } \Rightarrow 2\pi r^{3} = \frac{4}{3}\pi R^{3} \Rightarrow 3r^{3} = 2R^{3} \Rightarrow \frac{R^{3}}{r^{3}} = \frac{3}{2} \Rightarrow (\frac{R}{r})^{3} = \frac{3}{2}[/tex] от където [tex]\frac{R}{r} = \sqrt[3]{\frac{3}{2}}[/tex] ;
[tex]S_{сф. } = 4\pi R^{2}[/tex] , [tex]S_{ц } = 2\pi rh + 2\pi r^{2} = 6\pi r^{2}[/tex] ;
[tex]\frac{S_{сф }}{S_{ц }} = \frac{4\pi R^{2}}{6\pi r^{2}} = \frac{2}{3}.(\frac{R}{r})^{2} = \frac{2}{3}.(\sqrt[3]{\frac{3}{2}})^{2} = \frac{2}{3}.\sqrt[3]{\frac{3^{2}}{2^{2}}} = \sqrt[3]{\frac{2^{3}}{3^{3}} \frac{3^{2}}{2^{2}}} = \sqrt[3]{\frac{2}{3}}[/tex]