Повърхнини и обем на пирамида.

[manbat]

Здравейте, следната задача се оказа голяма трудност, не мога да стигна до никакъв отговор и ще се радвам от помощ! Благодаря предварително!
Намерете околната повърхнина, повърхнината и обема на триъгълна пирамида с височина 10 см и основа триъгълник със страни 4,10 и 12 см.

[ptj]

Намираш с Хероновата формула лицето на основата, а от там 3-те височини и синусите на ъглите в основата. Като знаеш страна и два ъгъла в триъгълник може да намериш всички негови елементи, т.е. и частите на кото се делят височините в основата. После с Питагорова апотемите в околните стени и т.н.

[Maximianus Herculius]

Задачата е fake .
За лицето на основата - ясно ([tex]3\sqrt{39}[/tex]), както те е упътил ptj (макар изобщо да не ми е ясно, за какъв дявол са ти трите височини!?). Обемът - също е ясен ([tex]10\sqrt{39}[/tex]) . Но околната повърхнина е неопределена. Нищо не е казано в условието, за ортогоналната проекция на върха на пирамидата в равнината на дадената основа. Ако се отдалечава от триъгълника на основата - лицето на повърхнината [tex]\rightarrow \infty[/tex].

[Петър Евгениев]

Време по мислене за тази ортогонална проекция на върха, което никога няма да си върна... Това е страшно престъпление, ако не беше писал нищо ptj и аз щях да "сиктердосам" задачата, ама викам пак ще напиша някоя глупост.

[KOPMOPAH]

Все по-често попадаме на фейкови задачи. Крайно време е да се организира "стена на позора" (за което пледирам отдавна) и там да се пишат имената на некадърните автори на задачи, причинили много болка и страдание и предизвикали трайно отвращение от математиката у горките ученици.

[Петър Евгениев]

Все по-често попадаме на фейкови задачи. Крайно време е да се организира "стена на позора" (за което пледирам отдавна) и там да се пишат имената на некадърните автори на задачи, причинили много болка и страдание и предизвикали трайно отвращение от математиката у горките ученици.

Аз съм За!

[S.B.]

И моето мнение беше,че задачата е неопределена но мнението на ptj ме накара да се замисля,защото колегата ptj никога не пише недоказани и непроверени неща.Eто зaщо аз се порових из литературата и в сборника "Ръководство и задачи по математика" на С.Копрински и А.Топалов се натъкнах на следното твърдение ,отнасящо се за неправилни триъгълни пирамиди , като следствие от теорема за неправилна пирамида:
За триъгълна пирамида [tex]MA_{1 }A_{2 }A_{3 }[/tex] са еквивалентни следните твърдения:
а)Околните ръбове са перпендикулярни на съответните им кръстосани основни ръбове;
б)Равнините минаващи през височината на пирамидата и околните ръбове са перпендикулярни на съответните кръстосани основни ръбове;
в)Ортогоналната проекция на върха [tex]M[/tex] на пирамидата в равнината на основата е ортоцентъра [tex]H[/tex] на триъгълника [tex]A_{1 }A_{2 }A_{3 }[/tex]

[Петър Евгениев]

Срам и позор младостта ми мина в тази тема

[S.B.]

Untitled (23).png (407.92 KiB) Прегледано 475 пъти

Пирамидата е [tex]DABC , AB = 12 ,AC = 4,BC = 10 ,AD \bot ABC,AD = 10[/tex]
Търси се обема и повърхнината;
По Херон - [tex]S_{ABC } = 3\sqrt{39} , V = \frac{3\sqrt{39}.10}{3} = 10\sqrt{39}[/tex]
Нека [tex]\angle ACB = \gamma[/tex],за [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам косинусова теорема,за да определя вида на триъгълника:
[tex]12^{2} = 10^{2} + 4^{2} - 2.10.4.cos\gamma[/tex] и получаваме [tex]cos\gamma = - \frac{7}{10} < 0 \Rightarrow \gamma > 90^\circ[/tex] и ортоцентърът [tex]E[/tex] в който се проектира върхът [tex]D[/tex] е извън равнината на основата.
Търсим проекциите на околните ръбове [tex]AE , BE ,CE[/tex] за да можем от правоъгълните триъгълници [tex]\triangle AED,\triangle BED , \triangle CED[/tex] да намерим околните ръбове [tex]AD ,BD , CD[/tex], а после по Херон да намерим повърхнините на околните стени [tex]\triangle ACD , \triangle BCD , \triangle ABD[/tex] и след като ги съберем - повърхнината на пирамидата.
[tex]AF,BG ,HC[/tex] са височините в [tex]\triangle ABC[/tex] ; [tex]AF = \frac{3\sqrt{39}}{5},BG= \frac{3\sqrt{39}}{2} , CH = \frac{\sqrt{39}}{2}[/tex]
От правоъгълния [tex]\triangle AFC[/tex] намираме [tex]FC = \frac{7}{5}[/tex] ,а от правоъгълния [tex]\triangle BGC[/tex] намираме [tex]GC = \frac{7}{2}[/tex]
За [tex]\triangle FGC[/tex] прилагам косинусова теорема и намирам [tex]FG = \frac{7\sqrt{43}}{10}[/tex]
Означавам [tex]\angle GFC = \alpha[/tex] и със синусова теорема за [tex]\triangle FGC[/tex] намирам [tex]sin\alpha = \frac{\sqrt{51}}{2\sqrt{43}}[/tex]
Тогава [tex]\angle GFE = 90^\circ - \alpha[/tex] и [tex]sin GFE = sin(90^\circ - \alpha) = cos\alpha = \frac{11\sqrt{43}}{86}[/tex]
За [tex]\triangle FGE[/tex] знаем страната [tex]FG, \angle FEG = 180^\circ - \gamma ,cos \angle GFE[/tex] и лесно можем да намерим [tex]FE , GE[/tex] а след това проекциите [tex]AE = AF + FE[/tex] и [tex]BE = BG + GE[/tex] ,а след това намираме и околните ръбове [tex]AD , BD[/tex]
[tex]EC[/tex] намираме по Питагор след като намерим [tex]FE[/tex] или [tex]GE[/tex] и от тук нататък е лесно - описала съм го по-горе.Зaдачата не е трудна,но е "хамалска"

[Knowledge Greedy]

[tex][/tex]{Околните ръбове са перпендикулярни на съответните им кръстосани основни ръбове[tex]\}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex][/tex]Ортогоналната проекция на върха [tex]M[/tex] на пирамидата в равнината на основата е ортоцентърът [tex]H[/tex] на триъгълника [tex]A_1A_2A_3[/tex][tex]\}[/tex]
Това твърдение се нарича Теорема за Трите Перпендикуляра.
В задачата се прилага точно три пъти.

Но не виждам нещо общо с обсъжданата задача

[Петър Евгениев]

[tex][/tex]{Околните ръбове са перпендикулярни на съответните им кръстосани основни ръбове[tex]\}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex][/tex]Ортогоналната проекция на върха [tex]M[/tex] на пирамидата в равнината на основата е ортоцентърът [tex]H[/tex] на триъгълника [tex]A_1A_2A_3[/tex][tex]\}[/tex]
Това твърдение се нарича Теорема за Трите Перпендикуляра.
В задачата се прилага точно три пъти.

Но не виждам нещо общо с обсъжданата задача

Е тогава за решение не може да се говори, тъй като не е дадено, че околните ръбове са перпендикулярни на съответните им кръстосани основни ръбове, че да твърдим, че върха се проектира върху ортоцентъра.

[KOPMOPAH]

Безспорно трите твърдения, посочени от S.B. са еквивалентни и лесно доказуеми едно от друго.

Въпросът е друг - това е приложимо за пирамида, чийто връх се проектира в ортоцентъра на основата, което е един съвсем частен случай. Със същия успех този връх може да се проектира във всяка друга точка, като пирамидата ще продължи да си е неправилна. Например ако проекцията е в центъра на описаната около основата окръжност- задачата става съвсем друга, околните ръбове са равни и т.н.

Както е формулирана задачата - няма никаква информация къде е проекцията на върха и, съответно, не може да се изчисли околната й повърхнина, както посочи Maximianus Herculius по-горе.

[ptj]

Писах набързо и наистина не съм обърнал внимание, че не е определена ортогоналната проекция на върха в основата, т.е околната повърхнина остава неопределелена.
Колкото до моите указания - биха имали смисъл когато върха се проектира в пресечента точка на височините в основата.