Дадени ми са следните задачи

[mishleto.georgieva]

зад.1 Намерете лицето на пълната повърхнина на правилна четириъгълна призма с лице на основата 25см2 и обем 100см3
зад.2 Страните на основата на прав паралелепипед са 10 и 8см и образуват ъгъл от 45 градуса. Околния ръб е 12см. Намерете пълната повърхнина на паралелепипеда.
зад.3 Намерете обема на правилна триъгълна пирамида с височина 12см., ако околната стена сключва с равнината на основата ъгъл 60 градуса
зад.4 Намерете пълната повърхнина на правилна четириъгълна пирамида с височина 12м., ако обема на пирамидата е 400м3

[Петър Евгениев]

зад.1 Намерете лицето на пълната повърхнина на правилна четириъгълна призма с лице на основата 25см2 и обем 100см3

[tex]S_{1}=2.25+4.a.h[/tex]
[tex]V=100=B.h \Rightarrow 100=25.h \Rightarrow h=4[/tex]
[tex]S_{1}=100+4.4.a[/tex]
Основата е квадрат [tex]B=a^{2}=25 \Rightarrow a=5[/tex]
[tex]S_{1}=100+4.4.a=100+4.4.5=100+80=180см^{2}[/tex]
Малко обяснение лицето на пълната повърхнина означава сбора на всички стени на дадения многостен и се бележи с [tex]S_{1}[/tex]
Знаем, че призмата е многостен, на който двете основи са еднакви [tex]n[/tex]-ъгълници, лежащи в успоредни равнини.
Правилна четириъгълна призма-призма с основа правилен четириъгълник тоест квадрат.
Точно от там и знам, че лицето на квадрата(основата) [tex]B=a.a=a^{2}=25[/tex] и така намирам основния ръб(странта на квадрата)
После знам, че околния ръб на правилната призма се явява неговата височина, защото щом е права, то основните ръбове са перпендикулярни на равнините на основите.
[tex]\rule{10cm}{0.4pt}[/tex]
Картинката не е чертеж на задачата.
На [tex]A[/tex] наблюдаваш демонстрация как на правата призма (в случая на чертежа тя е правилна 6-ъгълна призма) околните ръбове са перпендикулярни на основата и от там логично идва името и права призма.
На [tex]B[/tex] наблюдаваш наклонена, на която околният ръб не е височина!

images.png (9.74 KiB) Прегледано 3320 пъти

[Петър Евгениев]

зад.2 Страните на основата на прав паралелепипед са 10 и 8см и образуват ъгъл от 45 градуса. Околния ръб е 12см. Намерете пълната повърхнина на паралелепипеда.

Паралелепипеда е призма, на която всички стени са успоредници.
На правият паралелепипед околните ръбове са перпендикулярни на основите му(които са успоредници).
Основата на нашия паралелепипед е успоредник със страни 10 и 8 и остър ъгъл 45 градуса околният ръб е 12 см и трябва да намерим [tex]S_{1}[/tex]
Веднага можем да намерим лицето на основата [tex]B=10.8.sin45^{\circ}=10.\cancel{8}.\frac{\sqrt{2}}{\cancel{2}}=40\sqrt{2} cm^{2}[/tex]
Лицето на околната стена, която е правоъгълник със страни 10 и 12 намираме : [tex]S_{О.С}=10.12=120 cm^{2}[/tex]
Имаме две еднакви основни стени и четири еднакви околни стени, лицето на пълната повърхнина е сбора от техните лица.
$$S_{1}=2.B+4.S_{О.С}=2.40\sqrt{2}+4.120=80\sqrt{2}+480=80(\sqrt{2}+6) cm^{2}$$

[Петър Евгениев]

зад.3 Намерете обема на правилна триъгълна пирамида с височина 12см., ако околната стена сключва с равнината на основата ъгъл 60 градуса

1.png (4.77 KiB) Прегледано 3316 пъти

[tex]ABCD[/tex]-правилна пирамида, [tex]пр_{(ABC)}D=O, DO\bot (ABC), DO=12[/tex]
Ъгъл между наклонена и равнина е ъгълът между наклонената и проекцията и в равнината.
[tex]\angle(AD,(ABC))=\angle(AD,пр_{(ABC)}AD)=60^{\circ}[/tex]
[tex]пр_{ABC}AD=AO=CO=BO=R \Rightarrow \angle(AD,пр_{(ABC)}AD)=60^{\circ}=\angle(AD,AO)=60^{\circ}[/tex]
Като си го допостроиш [tex]AO[/tex] и разгледаш правоъгълния [tex]\triangle AOD[/tex] ще видиш, че [tex]\angle DAO=30^{\circ}[/tex], то катета срещу този ъгъл е половината от хипотенузата т.е. [tex]AO=\frac{1}{2}.AD[/tex]
Питагорова теорема за [tex]\triangle DAO \Rightarrow AO^{2}+144=AD^{2} \Rightarrow \frac{1}{4}.AD^{2}+144=AD^{2} \Rightarrow AD^{2}+4.144=4AD^{2}[/tex]
[tex]3AD^{2}=4.144 \Rightarrow AD^{2}=\frac{4.144}{3} \Rightarrow AD=\frac{2.12.\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}cm \Rightarrow AO=CO=BO=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}[/tex]
[tex]O[/tex]-медицентър [tex]CM\bot AB, M\in AB[/tex], [tex]CO:OM=2:1 \Rightarrow CO=2x=4\sqrt{3} \Rightarrow x=2\sqrt{3} \Rightarrow OM=x=2\sqrt{3}[/tex]
[tex]CM=CO+OM=4\sqrt{3}+2\sqrt{3}=6\sqrt{3}[/tex]
Питагорова теорема [tex]\triangle BCM[/tex](Нека [tex]AB=BC=AC=a \Rightarrow MB=\frac{a}{2}[/tex]
$$\frac{a^{2}}{4}+3.36=a^{2} \Rightarrow a^{2}+3.4.36=4a^{2} \Rightarrow a^{2}=\frac{3.4.36}{3}=4.36 \Rightarrow а=2.6=12$$
[tex]S_{ABC}=\frac{1}{2}.144.\frac{\sqrt{3}}{2}=36\sqrt{3}cm^{2}[/tex]
[tex]V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}.36\sqrt{3}.12=144\sqrt{3}cm^{3}[/tex]

[Gruicho]

"Дадени ми са следните задачи" е твърдение. Въпрос няма. Петър Евгениев, добрият човек решава. И къде е въпросът?