Отново за 12 клас - паралелепипед

[S.B.]

Всеки ръб на паралелепипед е равен на [tex]b[/tex].Ръбовете на паралелепипеда ,изхождащи от един и същи връх,образуват ъгли с големина [tex]2\alpha[/tex] .Определете обема на паралелепипеда.
Отг.[tex]b^{2}.sin2\alpha\sqrt{sin3\alpha sin\alpha}[/tex]

[monika_at]

Теорема за трите косинуса. Околният ръб се проектира върху ъглополовящата на ъгъла, заключен между двата околни ръба. Следва и малко тригонометрия.

[S.B.]

Отг.[tex]b^{2}.sin2\alpha\sqrt{sin3\alpha sin\alpha}[/tex]

Отговорът е :[tex]b^{3}.sin2\alpha\sqrt{sin3\alpha sin\alpha}[/tex] Съжалявам!

[S.B.]

Паралелепипед - 12 клас

Без заглавие (6).png (297.13 KiB) Прегледано 404 пъти

[S.B.]

Теорема за трите косинуса. Околният ръб се проектира върху ъглополовящата на ъгъла, заключен между двата околни ръба. Следва и малко тригонометрия.

Благодаря на колежката monika_at за съвета да ползвам теоремата за трите косинуса,но тъй като тази теорема не се преподава в масовите училища,ще ползвам други методи.
От [tex]\angle BAE = \angle GAE = 2\alpha \Rightarrow[/tex] околният ръб [tex]AE[/tex] се проектира върху диагонала [tex]AC[/tex] на основата.Ако т. [tex]I[/tex] е ортогоналната проекция на върха [tex]E[/tex] в равнината на основата,то [tex]I \in AC[/tex].В стената [tex]ABDE[/tex] построяваме [tex]EJ \bot AB[/tex] правата [tex]EJ[/tex] се проектира върху [tex]JI[/tex] ,[tex]EJ \bot AB , AB\in ABCD \Rightarrow[/tex] по теоремата на трите перпендикуляра и [tex]JI \bot AB[/tex]
Разглеждам [tex]\triangle AJE : \frac{EJ}{AE} = sin \angle EAJ \Rightarrow \frac{AJ}{b} = sin2\alpha[/tex] от където [tex]EJ = b.sin2\alpha , \frac{AJ}{b} = cos2\alpha \Rightarrow AJ = b.cos2\alpha[/tex]
Разглеждам [tex]\triangle AJI :[/tex] той е правоъгълен и [tex]\angle IAJ = \alpha ,\frac{IJ}{AJ} = tg\alpha \Rightarrow IJ = AJ.tg\alpha = bcos2\alpha.tg\alpha[/tex]
От [tex]\triangle EIJ[/tex] по Питагор имаме :[tex]EI^{2} = EJ^{2} - JI^{2}[/tex] или [tex]EI^{2} = (b.sin2\alpha)^{2} - (bcos2\alpha.tg\alpha)^{2}[/tex]
[tex]EI^{2} = b^{2}( sin^{2}2\alpha - cos^{2}2\alpha\frac{sin^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha}) = \frac{b^{2}}{cos^{2}\alpha}(sin^{2}2\alpha cos^{2}\alpha - cos^{2}2\alpha.sin^{2}\alpha) =[/tex]
[tex]\frac{b^{2}}{cos^{2}\alpha}(sin2\alpha.cos\alpha - cos2\alpha.sin\alpha)(sin2\alpha.cos\alpha + cos2\alpha.sin\alpha) = \frac{b^{2}}{cos^{2}\alpha}.sin\alpha.sin3\alpha[/tex]
[tex]EI = \frac{b}{cos\alpha}\sqrt{sin\alpha.sin3\alpha}[/tex] ; [tex]V = B_{осн. }.EI = b^{2}.sin2\alpha. \frac{b}{cos\alpha}\sqrt{sin\alpha.sin3\alpha} = b^{3}.\frac{2sin\alpha.cos\alpha}{cos\alpha}\sqrt{sin\alpha.sin3\alpha}[/tex]
Окончателно [tex]V = 2b^{3}.sin\alpha\sqrt{sin\alpha.sin3\alpha}[/tex]
__________________________________________________________________
P.S.Отговорът не съвпада с този от сборника,но нека този който открие грешката да пише!

[Nathi123]

Нека ЕН[tex]\bot AB \Rightarrow IH\bot AB[/tex] и публикуваният чертеж .
[tex]\triangle AHE \Rightarrow AH=bcos2\alpha ; \triangle AHI\Rightarrow AI=\frac{AH}{cos\alpha}=\frac{bcos2\alpha}{cos\alpha}[/tex];
[tex]\triangle AIE\Rightarrow EI^{2}=b^{2}-\frac{b^{2}cos^{2}2\alpha}{cos^{2}\alpha};EI\bot(ABC);EI=\frac{b}{cos\alpha}\sqrt{cos^{2}\alpha-cos^{2}2\alpha}[/tex]
[tex]S_{ABCG}=b^{2}sin2\alpha ;[/tex]
[tex]cos^{2}\alpha-cos^{2}2\alpha =(cos\alpha-cos2\alpha)(cos\alpha+cos2\alpha)=-4sin\frac{3\alpha}{2}sin(-\frac{\alpha}{2})cos\frac{3\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}=sin3 \alpha sin \alpha[/tex]
[tex]\Rightarrow V=2b^{3}sin\alpha \sqrt{sin3 \alpha sin \alpha}[/tex]. Значи грешката е в отговора в сборника!

[S.B.]

Благодаря Nathi123 !