Пирамида и сечение

[Петър Евгениев]

Дадена е правилна четириъгълна пирамида [tex]ABCDQ[/tex] с основен ръб [tex]AB=a[/tex] и околен ръб [tex]QA=a\sqrt{2}[/tex]. През върха [tex]A[/tex] е построена равнина, перпендикулярна на срещуположния околен ръб [tex]QC[/tex]. Намерете лицето на полученото сечение.
Отговор: [tex]\frac{a^{2}\sqrt{3}}{3}[/tex]

[S.B.]

Скрит текст: покажи

Без заглавие (25).png (300.02 KiB) Прегледано 351 пъти

[Nathi123]

[tex]AC \cap BD=O;AC=BD=a\sqrt{2} ;AC\bot BD[/tex] (ABCD-квадрат със страна а)л. В равнината (АСQ) построяваме [tex]AH\bot QC ; AH\cap QO=P[/tex] В равнината (BDQ) през точка Р построяваме права m ||BD [tex]m\cap BQ=M; m\cap DQ=N \Rightarrow AMNH[/tex] е търсеното сечение.
[tex]AC\bot BD[/tex] и е ортогонална проекция на АН и QC върху (АВС) ,по т-мата за трите перпендикуляра [tex]\Rightarrow BD \bot QC \Rightarrow MN\bot QC[/tex] и [tex]MN\bot AH\Rightarrow S_{AMHN }=\frac{1}{2}AH.MN[/tex] .
За триъг. ACQ[tex]\Rightarrow AC=AQ=CQ=a\sqrt{2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2};[/tex] .Точка Р е медицентър в триъг. АСQ[tex]\Rightarrow\frac{MN}{BD}=\frac{QP}{QO}=\frac{2}{3}\Rightarrow NM=\frac{2}{3}.BD=\frac{2a\sqrt{2}}{3}\Rightarrow S_{AMHN }=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{3}[/tex].

[S.B.]

Още едно решение
Построение: В равнината $(ACQ)$ построявам права $p$ : [tex]\begin{cases} p Z A\\ p \bot CQ\end{cases} , p\cap CQ = P , p\cap EQ = H ;[/tex]
В равнината $(DBQ)$ построявам права $q$ : [tex]\begin{cases} q Z H \\ q \vert \vert DB \end{cases} ,q \cap BQ = N , q \cap DQ = M[/tex]
Сечението $ANPM$ е търсеното защото минава през т.$A$ , по построение $AP \bot CQ$ , $MN \vert \vert DB$ , по трите перендикуляра $BD \bot CQ \Rightarrow MN \bot CQ$ , $MN $ и $AP$ са пресекателни $\Rightarrow CQ \bot ANPM$
[tex]\triangle ACQ[/tex] е равностранен със страна $= a\sqrt{2}$, $AP$ и $QE$ са височини и медиани, $\Rightarrow AP = EQ = a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$
т.$H$ е медицентър $\Rightarrow QH = \frac{2}{3}.QE = \frac{a\sqrt{6}}{3}$
От $\triangle MHQ $ : $\angle MQH = \frac{1}{2} \angle MQN = \frac{\pi}{6}$ и $\frac{MH}{QH} = tg\frac{\pi}{6} , MH = \frac{a\sqrt{6}}{3}.\frac{\sqrt{3}}{3} , MH = \frac{a\sqrt{2}}{3} \Rightarrow MN = \frac{2a\sqrt{2}}{3}$
[tex]S_{ANPM } = \frac{AP.MN}{2} = \frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{2a\sqrt{2}}{3} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{3}[/tex]