Определете положението на...

[Петър Евгениев]

Даден е куб със стандартни означения. Равнината [tex]\alpha[/tex], която минава през средите на ръбовете [tex]AB[/tex] и [tex]BC[/tex], пресича лъча [tex]B_{1}C_{1}^{\rightarrow}[/tex] в точка [tex]P[/tex]. Определете положението на точка [tex]P[/tex], при което сечението на [tex]\alpha[/tex] с куба е петоъгълник.
Отговор: [tex]CP:CC_{1}\le 1:3[/tex]

[Davids]

Не знам аз ли се бъркам много зловещо или отсечката $CP$ винаги ще е хипотенуза в правоъгълен триъгълник $CPC_1$, следователно $CP > CC_1$ и даденият отговор няма как да се получи дори? Друго, което ме съмнява, е, че търсеното сечение може да е максимум четириъгълник... Някоя буквичка някъде да не да е поразменена?

[Петър Евгениев]

Не знам аз ли се бъркам много зловещо или отсечката $CP$ винаги ще е хипотенуза в правоъгълен триъгълник $CPC_1$, следователно $CP > CC_1$ и даденият отговор няма как да се получи дори? Друго, което ме съмнява, е, че търсеното сечение може да е максимум четириъгълник... Някоя буквичка някъде да не да е поразменена?

Бях объркал условието, за което се извинявам

[Петър Евгениев]

Още една грешка хаха. Ръбът, който [tex]\alpha[/tex] пресича трябва да е [tex]CC_{1}[/tex], а не [tex]B_{1}C_{1}[/tex].
П.П. Реших я, фалшива аларма. Ако някой иска може да я напише, разбира се, но всичко е точно при мен.
Лека вечер!

[Davids]

CubeIntersection.png (54.52 KiB) Прегледано 284 пъти

Така, първо, за да е търсеното сечение (ще го кръстим $s$) петоъгълник, то трябва $s \cap DD_1 = K, K \in DD_1$ (вътрешна точка за ръба). За да намерим нужния интервал, ще работим с означения в зелено ъгъл между сечението и равнината на основата на куба - $\alpha$. Неговата максимална стойност, за която условието е изпълнено, се достига, когато $K \equiv D_1$, т.е., когато $tg\alpha = \frac{DD_1}{DH} = \frac{a}{\frac{3}{4}\sqrt{2}a} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. Следователно $tg\alpha \le \frac{2\sqrt{2}}{3} \Rightarrow \alpha \in [0; arctg(\frac{2\sqrt{2}}{3})]$. Пренесено в пирамидата $JMCP$, това е еквивалентно на $tg\alpha = \frac{CP}{CN} = \frac{CP}{\frac{\sqrt{2}a}{4}} \le \frac{2\sqrt{2}}{3} \Rightarrow CP \le \frac{1}{3}a$. Единствено, което и във финалния вид на задачата маалко не ми допада, е, че въпросът е зададен толкова общо: "определете положението на точка $P$". По какви критерии? Вярно, че това отношение е най-интуитивно, но аз бих, например, оставил решението и до тангенса на ъгъла между основите (и той дефинира положението на равнината на сечението еднозначно, все пак ).