Правоъгълен паралелепипед

[S.B.]

Даден е правоъгълен паралелепипед $ABCDA_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 }$ ,като $ABCD$ и $A_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 }$ са основи,а $AA_{1 } ,BB_{1 } , CC_{1 }$ и $DD_{1 }$ са околни ръбове.Точката $H$ е ортогоналната проекция на върха $A$ върху равнината $A_{1 }BD$.Да се пресметне лицето на сечението на дадения паралелепипед с равнината $BC_{1 }H$ , ако [tex]AB = \sqrt{33} , AD = 8 , AA_{1 } = 8\sqrt{3}[/tex].

[Davids]

Получавам $36\sqrt{5}$, но понастоящем единствено в решението ми куца доказателството, че ортогоналната проекцията на върха на триъгълна пирамида, чиито околни стени са правоъгълни триъгълници, в равнината на основата съвпада с ортоцентъра й. Това ли е отговорът?

[Davids]

Paralelepiped.png (43.63 KiB) Прегледано 433 пъти

С три бързи питагорови теореми намираме страните на синия триъгълник $BD = \sqrt{97}$, $BA_1 = 15$, $DA_1 = 16$. В пирамидата с връх $A$, на която той е основа, имаме $DA_1 \bot AH$ и $DA_1 \bot AB$ (тъй като $AB \bot (ADA_1)$), откъдето и $DA_1 \bot (BAH)$, от което пък следва, че $AM \bot DA_1$. Сега от метричните зависимости в правоъгълния $\triangle DAA_1$ ще намерим $DM(16 - DM) = AM^2 = (\frac{AD.AA_1}{DA_1})^2 = (4\sqrt{3})^2 = 48 \Rightarrow DM = 4$. И понеже имаме $(ADD_1A_1) || (BCC_1B_1)$, то $KL || BC_1 || AD_1$. И тъй като имаме също $KL = \frac{1}{2}AD_1$, то $KL$ е средна отсечка в $\triangle AD_1$, следователно $K$ и $L$ са респективно среди на $AD$ и $DD_1$. Значи с две питагорови теореми можем да намерим $BK = \sqrt{AB^2 + AK^2} = 7$ и $C_1L = \sqrt{C_1D_1^2 + LD_1^2} = 9$. И така си дефинирахме търсеното сечение като трапец с основи 8 и 16 и бедра 7 и 9, начини за намирането на чието лице - бол. Аз съм подходил с класическия от девети клас - построяваме успоредна отсечка на едното бедро вътре в трапеца, получаваме триъгълник с три известни страни, Херонова формула за лицето, откъдето намираме и височината между основите на трапеца (в случая $3\sqrt{5}$). И за лицето остава $S = \frac{16 + 8}{2}.3\sqrt{5} = 36\sqrt{5}$...

П.П. Бях си оставил формата на страницата отворена за дописване с едит на решението и като се върнах 2-3 часа по-късно, писах, писах, описвах... само за да натисна "Изпрати" и да ми каже, че ми е изтекла сесията и мнението не може да бъде редактирано вече... Съответно цялата писанка изчезна безследно... В този ред на мисли, бих предложил (по възможност), когато към сайта бъде изпратена такава престояла заявка за редакция на мнение или въобще свързана с изпращането на някакво генерирано от потребитля съдържание такава, на потребителя да бъде връщано на предупредителния прозорец поне написаното, за да не си блъска главата после

[S.B.]

Да,отговорът е [tex]36\sqrt{5}[/tex]