Кълбо вписано в конус

[S.B.]

В конус с образувателна $l$ и радиус $r$ е вписано кълбо.Да се намери обема на кълбото.

[S.B.]

Без заглавие (27).png (248.13 KiB) Прегледано 941 пъти

[Nathi123]

Нека триъг.АВС е осно сечение на конуса; АС=ВС=l ; [tex]CO\bot AB\Rightarrow AO=BO=r ;[/tex] .Вписаната в конуса сфера нека е с център [tex]O_{1 }[/tex] и радиус R ;тогава вписаната в триъг. АВС окръжност има радиус R и център [tex]O_{1 }[/tex]
[tex]\Rightarrow OO_{1 }=R[/tex] ,да означим [tex]\angle ABC=\alpha ; \triangle COB \Rightarrow \frac{OB}{BC}=cos\alpha \Rightarrow \frac{r}{l} = cos\alpha[/tex];
[tex]\triangle OO_{1 }B \Rightarrow \frac{R}{r}=tg\frac{\alpha}{2} =x\Rightarrow x>0; cos\alpha =\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\Rightarrow \frac{r}{l}=\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^{2}=\frac{l-r}{l+r}\Leftrightarrow tg\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{l-r}{l+r}}\Rightarrow R=r\sqrt{\frac{l-r}{l+r}}[/tex].
[tex]\Rightarrow V=\frac{4\pi r^{3}(l-r)}{r+l}.\sqrt{\frac{l-r}{l+r}}[/tex].

[S.B.]

Благодаря на Nathi123!

Ето и още един поглед върху задачата:
$BD = h = \sqrt{l^{2} - r^{2}}$ , $R$ - радиус на кълбото
За осното сечение [tex]\triangle ABC :\begin{cases} S_{ABC } =\displaystyle \frac{AC.BD}{2} = \frac{2r.h}{2} = r\sqrt{l^{2} - r^{2}} \\ S_{ABC } = p.R\end{cases} \Rightarrow r\sqrt{l^{2} - r^{2}} = (l + r)R \Rightarrow R = r\sqrt{\displaystyle \frac{l -r}{l + r}}[/tex]
[tex]V = \frac{4}{3}\pi (r\sqrt{\frac{l - r}{l + r}})^{3} = \frac{4}{3}\pi r^{3}\frac{l - r}{l + r}\sqrt{\frac{l - r}{l + r}}[/tex]