И отново триъгълна пирамида...

[S.B.]

За основа на пирамидата $MABC$ служи правоъгълен триъгълник $ABC$ с катети 21 см и 28 см.Околните стени през тях сключват с равнината на основата ъгли равни на [tex]60^\circ[/tex].Околните ръбове през краищата на хипотенузата са равни.Да се определи обема на пирамидата.

[KOPMOPAH]

2019-02-04_183747.png (11.3 KiB) Прегледано 348 пъти

[Nathi123]

Нека [tex]\angle ACB=90^\circ ;MM_{1 }\bot (ABC); MA=MB \Rightarrow AM_{1 }=BM_{1 }[/tex] По условие
[tex]\angle ( (ACM),(ABC)) = \angle ((BCM),(ABC))=60^\circ\Rightarrow \angle ACM_{1 }=\angle BCM_{1 } = 45^\circ[/tex].
От Т на Питагор,получаваме,че АВ = 35 см; [tex]\angle CAB=\alpha\Rightarrow sin\alpha = \frac{BC}{AB}=\frac{21}{35}=\frac{3}{5}[/tex]
[tex]cos\alpha = \frac{4}{5}[/tex] .
[tex]M_{1 }[/tex] - пресечната точка на симетралата на АВ и ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex] .От тук следва,че точка
[tex]M_{1 }[/tex] e точка от описаната около триъг. АВС окр. и [tex]\angle AM_{1 }B=90^\circ ; \Rightarrow AM_{1 }=BM_{1 }=\frac{35}{\sqrt{2}}[/tex]
Построяваме МН[tex]\bot AC=28 \Rightarrow M_{1 }H\bot AC\Rightarrow \angle M_{1 }HM=60^\circ ; \triangle AHM_{1 }\Rightarrow \frac{M_{1 }H}{AM_{1 }}=sin(\alpha +45^\circ)[/tex]
[tex]sin(\alpha +45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}(sin\alpha + cos\alpha ) = \frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{7}{5}=\frac{7\sqrt{2}}{10}\Rightarrow M_{1 }H=\frac{49}{2}[/tex]
[tex]\triangle MHM_{1 }\Rightarrow \frac{MM_{1 }}{MH}=tg60^\circ = \sqrt{3}\Rightarrow MM_{1 }=\sqrt{3}.\frac{49}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow V=\frac{21.28.49\sqrt{2}}{2.2.3}=49^{2}\sqrt{3}[/tex].