Куб и пирамида

[KOPMOPAH]

В куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ е вписана правилна четириъгълна пирамида с основа $ABCD$ и околни ръбове, равни на ръба на куба. Да се намери лицето на сечението на пирамидата с равнина, минаваща през $AC_1$ и успоредна на $BD$.

Скрит текст: покажи

Куб и пирамида.png (11.82 KiB) Прегледано 497 пъти

[S.B.]

Без заглавие (45).png (283.42 KiB) Прегледано 474 пъти

Диагоналното сечение на куба - ACC1A1

Без заглавие (46).png (293.66 KiB) Прегледано 474 пъти

В куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ е вписана правилна четириъгълна пирамида с основа $ABCD$ и околни ръбове, равни на ръба на куба. Да се намери лицето на сечението на пирамидата с равнина, минаваща през $AC_1$ и успоредна на $BD$.

Скрит текст: покажи

Прикачения файл Куб и пирамида.png вече е недостъпен

Построение на сечението в пирамидата:
В равнината $ACC_{1 }A_{1 }$ построявам диагонала $AC_{1 } ; AC_{1 }\cap OM = H ,AC_{1 }\cap CM = Q$;
Построявам права $p$ такава ,че [tex]\begin{cases} p Z H \\ p || BD \end{cases}[/tex] ; $p \cap DM = E , p \cap BM = F $
Четриъгълникът $AFQE$ е търсеното сечение , $S_{AFQE } = \frac{AQ.EF}{2}$
Търсим $AQ $ и $EF$
В сечението $ACC_{1 }A_{1 }$ :
От [tex]\triangle OCM : OM^{2} = MC^{2} - OC^{2} = a^{2} - (\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2} = \frac{a^{2}}{2} \Rightarrow OM = \frac{a\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \triangle AMC[/tex] е равнобедрен правоъгълен
Нека $\angle CAC_{1 } = \alpha$ ;
Разглеждам $\triangle AQM$ той е правоъгълен $(\angle AQM = 2.45^\circ)$, $\angle QAM = 45^\circ - \alpha , \frac{AM}{AQ} = cos(45^\circ - \alpha) \Rightarrow AQ = \frac{a}{cos(45^\circ - \alpha)}$
От $\triangle ACC_{1 } : \frac{CC_{1 }}{AC} = tg\alpha\Leftrightarrow \frac{a}{a\sqrt{2}} = tg\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ респективно $sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} , cos\alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$
$cos(45 - \alpha) = cos45.cos\alpha + sin45.sin\alpha = \frac{\sqrt{6}}{6}(\sqrt{2} + 1)$ ; $AQ = \frac{a}{cos(45 - \alpha}) = ....= a\sqrt{6}(\sqrt{2} - 1)$
От $\triangle AOH : \frac{OH}{AO} = tg\alpha \Leftrightarrow OH = AO.tg\alpha \Rightarrow OH = \frac{a}{2} ;MH = OM - OH = \frac{a\sqrt{2}}{2} - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}(\sqrt{2} - 1)$
$\triangle BDM \approx \triangle EFM \Rightarrow \displaystyle \frac{BD}{EF} = \displaystyle \frac{OM}{MH} \Rightarrow \frac{a\sqrt{2}}{EF} = \frac{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}{ \displaystyle \frac{a(\sqrt{2} - 1)}{2}} \Rightarrow EF = a(\sqrt{2} - 1)$
$S_{AFQE } = \frac{AQ .EF}{2} = \frac{a(\sqrt{2} - 1).a\sqrt{6}(\sqrt{2} - 1)}{2} = \frac{a^{2}\sqrt{6}(\sqrt{2} - 1)^{2}}{2}$