Куб, среди на страни и сфера

[KOPMOPAH]

През $n$ от средите на ръбовете на куб минава сфера.
Вярно ли е твърдението "Сферата минава през средите на всички ръбове" за:
а) $n=6$;
б) $n=7$?

[ptj]

1.)За 6 може - взимаме два срещуположни върха и средите на ребрата излизащи от тях. Получава се права призма с основи равностранни триъгълници, около която може да се опише сфера.

2.)Куба има 12 ръба (и техните съответни среди), които могат да бъдат разделени в 3 групи по 4 за успоредни ръбове (може да се обоснове с въвееждането на координатна система). Съгласно принципа на Дирихле, ако вземем 7 от споменатите среди, то поне 3 ще принадлежат на една от споменатите групи. Съществено е, че всяка всяка от тях описва върховете на квадрат, и ако построим окръжност през 3 среди от групата , то тя ще мине и през 4-тата. Центъра на тази окръжност е център на описаната сфера за куба (пресечена точка на отсечките през срещуположните върхове). Т.е. сфера през кои да е 7 среди на ръбове на куба ще минава през всичките 12 подобни среди.

[Knowledge Greedy]

Една забележка към ptj.

1.)За 6 може - взимаме два срещуположни върха и средите на ребрата излизащи от тях. Получава се права призма с основи равностранни триъгълници, около която може да се опише сфера.
...

Доколкото разбирам построението, това съвсем не е призма, а просто две пирамиди с общ връх (централно симетрични - с център на симетрия центърът на куба) и основи в успоредни равнини. Интересното е, че нашата сфера задължително ще мине и през останалите среди на ръбове на куба, защото центърът ѝ съвпада с центъра на куба, а диаметърът ѝ (например [tex]LK[/tex]) е точно диагонал на стена на куба.

Довписаната сфера на Корморан.png (38.65 KiB) Прегледано 563 пъти

[ptj]

Както и да вземем 6-те среди на ръбове, то описаната през тях сфера ще мине през всичките 12 такива среди. Обосновката оставям на Вас.

[KOPMOPAH]

Както и да вземем 6-те среди на ръбове, то описаната през тях сфера ще мине през всичките 12 такива среди. Обосновката оставям на Вас.

Това въобще не е вярно. Оставям на Вас да си откриете грешката и да осмислите защо задачата има две подточки.

[Knowledge Greedy]

В случай, че 6 - те точки лежат в една равнина, броят на сферите минаващи през тях е безкраен.
Това е така, защото въпросният 6 - ъгълник е правилен и всяка от точките на диагонала [tex]AG[/tex] на чертежа по-долу се оказва на равно разстояние от върховете на [tex]IJLMNK[/tex].

Загадката на Корморан.png (23.16 KiB) Прегледано 553 пъти

Когато обаче се включи седма точка, тя ще бъде извън равнината на [tex]IJLMNK[/tex] и единствената сфера ще бъде допиращата се до всички ръбове в техните среди (степените на свобода намаляват ).

При останалите случаи за [tex]n=7[/tex] ще използваме следната
Лема. Центърът на сфера съдържаща върховете на равнобедрен правоъгълен триъгълник се намира върху права [tex]b[/tex]
със свойствата:
- перпендикулярна на равнината на триъгълника;
- минаваща през средата на хипотенузата му;
- минаваща през центъра на куба.

Нека четири от точките са среди на четворка ръбове, които са взаимно успоредни. Всяка сфера, която минава през тях има център върху правата през центъра на куба и перпендикулярна на равнината, съдържаща тези четири среди. Където и да са останалите две точки (а за тях са останали още 8 среди на ръбове), всяка от тях ще е в стена, в която има още две среди. Това означава, че върху сферата има върхове на още два триъгълника, удовлетворяващи условието на лемата, значи центърът на сферата е център на куба.
Ако най-много три среди са от ръбовете на една стена на куба (една права [tex]b[/tex]), тогава 6 от точките ще се окажат или краища на отсечки с обща среда (централно симетрични) или техните симетрални равнини ще имат обща точка, която е от [tex]b[/tex] и има още тройки точки - среди на ръбове от една стена, които образуват правоъгълен триъгълник - чиято симетрална равнина на хипотенузата минава през центъра на куба - център на единствената сфера през тях.