Сечение с максимално лице

[S.B.]

В даден тетраедър да се намери сечението с максимално лице,успоредно на два непресичащи се ръба.

[Davids]

Tetrahedron.png (34.51 KiB) Прегледано 429 пъти

Знаем, че всеки два непресичащи се ръба в тетраедъра са си перпендикулярни (доказва се лесно). За да е равнината на сечението успоредна на два такива ръба, то тя трябва да съдържа поне две прави, успоредни на съответен такъв връх (например $KL || AD$ и $KN || BC$). Следователно сечението е правоъгълник (успоредник с прав ъгъл). Нека страната на тетраедъра е $a$, а $AK = AN = KN = k$, аналогично от равностранни триъгълници имаме и $KB = BL = KL = a - k$. Следователно страните на сечението ни са $k$ и $a - k$. Търсим максимума на неговото лице:
$f(k) = k(a - k) = -k^2 + ak$
$\Rightarrow f_{max}(k) = f(-\frac{a}{-2}) = f(\frac{a}{2}) = \frac{a^2}{4}$, т.е. когато сечението е квадрат.

[S.B.]

Тетраедър (неправилен)

Без заглавие (59).png (205.55 KiB) Прегледано 409 пъти

В даден тетраедър да се намери сечението с максимално лице,успоредно на два непресичащи се ръба.

При цялото ми уважение към Davids,решението му не кореспондира с условието на задачата.В условието никъде не се казва,че тетраедърът е правилен,освен това не се търси нито вида на сечението нито неговото лице. Търси се само позиционирането на сечението,което да има максимално лице,при положение ,че е успоредно на два непресичащи се ръба.Сечението наистина е правоъгълник,както Davids определя,но броя на сеченията,които са успоредни на два непресичащи се ръба са много.Търси се къде се намира точно това сечение,лицето на което е максимално.
Нека отбележим основните ръбове с $a$ , а околните с $b$.
[tex]\triangle ABC \approx \triangle MNC \Rightarrow \frac{MN}{а} = \frac{NC}{а} = k \Rightarrow MN = k.a , NC = k.a[/tex] ,тогава [tex]BN = (1 - k).a[/tex]

[tex]\triangle BMC \approx \triangle BNP \Rightarrow \frac{NP}{b} = \frac{BN}{a} = (1 -k) \Rightarrow \frac{NP}{b} = (1 -k) \Rightarrow NP = b(1 - k)[/tex]

[tex]S_{MNPQ } = MN.NP = k.a.b(1 - k) = ab.k - ab.k^{2}[/tex] или $S_{MNPQ } = S(k) = ab.k - ab.k^{2} $

$S'(k) = ab - 2ab.k = ab(1 - 2k) = 0 \Rightarrow 1 - 2k = 0 \Rightarrow k = \frac{1}{2}$
От където следва,че сечението $MNPQ$ минава през средите на 2 основни и 2 околни ръба.

[Knowledge Greedy]

Май не съм наясно с определението на тетраедър или поне не прочитам нещо в условието.

Без заглавие (59).png

В даден тетраедър да се намери сечението с максимално лице,успоредно на два непресичащи се ръба.

...
При цялото ми уважение към Davids, решението му не кореспондира с условието на задачата.В условието никъде не се казва,че тетраедърът е правилен, освен това не се търси нито вида на сечението нито неговото лице. Търси се само позиционирането на сечението,което да има максимално лице,при положение ,че е успоредно на два непресичащи се ръба.Сечението наистина е правоъгълник,както Davids определя,но броя на сеченията,които са успоредни на два непресичащи се ръба са много.Търси се къде се намира точно това сечение,лицето на което е максимално.
Нека отбележим основните ръбове с a , а околните с b.
.....

Изглежда под "тетраедър" разбираме правилна триъгълна пирамида?! Или - за да нагласим удобните за пресмятане правоъгълници, тетраедърът като минимум да е полуправилен, или ортоцентричен?

Но все пак тетраедър е произволна триъгълна пирамида - просто четиристен с четири стени триъгълници.

В даден тетраедър да се намери сечението с максимално лице,успоредно на два непресичащи се ръба.

Двойка непресичащи се ръбове може да бъде избрана по три начина. Следователно разсъжденията на S.B. трябва да бъдат повторени още два пъти и по някакъв начин да бъде избрано едно от трите получени максимални сечения. Поправете ме, ако не съм разбрал правилно!

[S.B.]

"Сборник от задачи по геометрия VII - XII клас",Част втора автори К.Коларов,Христо Лесов,стр.109,зад.41.21. "В даден тетраедър да се намери сечението с максимално лице,успоредно на два непресичащи се ръба"Отг.Минава през средите на съседните ръбове на тетраедъра.
Не споря с никого.Просто не се търси нито вида на сечението нито лицето му.Търси се къде се позиционира.При правилен тетраедър се получава също,че минава през средите на ръбовете,но колегата не е посочил това,а се е съсредоточил върху вида и лицето на сечението.А всъщност се търси само къде е то.Колкото до вида на тетраедъра - казано е "даден тетраедър" всъщност нищо не е дадено - нито,че е правилен нито нещо друго!
Оставам с уважение към Вас