Две задачи за 12 клас

[NVP]

В триъгълна пирамида SABC постройте сечение през върха C и през средата на околния ръб SA успоредно на SB. Намерете лицето на сечението ако ръбът SC е перпендикулярен на основата, която е равностранен триъг. със страна 2√5 и околни ръбове AS=BS=10.

Дадена е правилна триъгълна пирамида DABC е основа ABC и среда на DC - точката F. Да се построи сечението на пирамидата с равнина, която минава през средите на AB и AC и е успоредна на AF, и сечението на пирамидата с равнината, която минава през AF и е успоредна на BC.

[Davids]

По първа задача:
За да е успоредна равнината на сечението на ръба $SB$, то значи тя трябва да съдържа поне една успоредна на този ръб права, която ще минава и през средата на $AS$ - точка М. Разглеждайки триъгълник $ABS$, лесно забелязваме, че тази успоредна права ще е правата на средната отсечка срещу $BS$ - $MN$, където $N$ ще е средата на $AB$. Така търсеното сечение става триъгълника $MNC$, в който:
$MN = \frac{BS}{2} = 5$
$CN = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \sqrt{15}$
$CM$ е медиана към хипотенуза в правоъгълния $\triangle ASC$, следователно $CM = \frac{AS}{2} = 5$.

Можеш ли вече сам да намериш лицето на този триъгълник?

[S.B.]

Сечение в триъгълна пирамида

Без заглавие (60).png (232.55 KiB) Прегледано 465 пъти

В триъгълна пирамида SABC постройте сечение през върха C и през средата на околния ръб SA успоредно на SB. Намерете лицето на сечението ако ръбът SC е перпендикулярен на основата, която е равностранен триъг. със страна 2√5 и околни ръбове AS=BS=10.

Построение: т.$P$ - среда на $AS$;Вравнината $ABS$ построявам права $p$ такава,че :[tex]\begin{cases} p Z P \\ p || BS \end{cases}[/tex] тогава $p \cap AB = Q$
$\triangle CPQ$ е търсеното сечение;
В стената $ABS$: т.$P$ е среда на $AS$, $PQ || BS \Rightarrow $ т.$Q$ е среда на $AB \Rightarrow PQ$ е средна отсечка и $PQ = \frac{BS}{2} = 5$
В стената $ACS$ : $\triangle ACS $ е правоъгълен , $AS$ е хипотенуза , $CP$ е медиана ,$\Rightarrow CP = \frac{AS}{2} = 5$
В основата $ ABC$ : $\triangle ABC $ е равностранен, $CQ$ е медиана, $\Rightarrow CQ = AC.\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{5}.\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{15}$
Полученото сечение $CPQ$ е равнобедрен триъгълник ,с бедра $CP = PQ = 5$ и основа $CQ = \sqrt{15}$
Ако мислено построим височината към основата в този триъгълник $PH \bot CQ$ по Питагор намираме $PH^{2} = 5^{2} - (\frac{\sqrt{15}}{2})^{2} = \frac{75}{4}$ или $PH = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ , а лицето на сечението :[tex]S_{CPQ } = \frac{15\sqrt{5}}{4}[/tex]

[S.B.]

Сечение през средите на AB и BC и успоредно на AF

Без заглавие (61).png (219.5 KiB) Прегледано 456 пъти

Дадена е правилна триъгълна пирамида DABC е основа ABC и среда на DC - точката F. Да се построи сечението на пирамидата с равнина, която минава през средите на AB и AC и е успоредна на AF, и сечението на пирамидата с равнината, която минава през AF и е успоредна на BC.

Нека т. $E$ е среда на $AB$, т.$G$ е среда на $BC$.В стената $ABD$ построявам през т.$E$ права успоредна на $АD$ ,която пресича ръба $BD$ в точка $H$ която е среда на $BD$.В основата $ABC$ построявам $EG$ ,която е успоредна на $AC$ като средна отсечка в триъгълника.По $EH || AD $ и $EG || AC $ построявам равнината $EGH || ACD$; Нека т.$I$ е среда на $GH$ .Пресичам равнините $ACD$ и $EGH$ с равнината $EIFA$.Пресечниците на двете успоредни равнини са $AF$ и $EI$ за които знаем( според теорема) ,че пресечниците на две успоредни равнини са успоредни и тогава $ AF || EI \Rightarrow AF $ няма обща точка с $EGH \Rightarrow EGH || AF$

[S.B.]

Сечение през AF и успоредно на BC

Без заглавие (62).png (186.72 KiB) Прегледано 452 пъти

В равнината $BCD$ построявам през т. $F$ права успоредна на $BC$ ,която пресича $BD$ в т.$E$,която е среда на $BD$ .Сечението $AEF$ е търсеното - минава през $AF$ и правата $BC$ няма обща точка с равнината $AFE$ защото $BC || EF$ по построение [tex]\Rightarrow AEF ||BC[/tex]