Конкурс 1981г.

[S.B.]

Основата на пирамида е правоъгълен триъгълник с остър ъгъл с големина [tex]\alpha[/tex].Височината на пирамидата минава през пресечната точка на хипотенузата с ъглополовящата на правия ъгъл на основата.Околната стена,която минава през единия катет,сключва с основата ъгъл с големина $\beta$.Да се намери обема на пирамидата,ако дължината на ъглополовящата на правия ъгъл на основата е $k$.

[Davids]

Pyramid.png (20.65 KiB) Прегледано 294 пъти

Означенията по условие. Първо по определението за тангенс имаме $tg\alpha = \frac{a}{b} \Rightarrow a = btg\alpha$. След това, за ъглополовящата към хипотенуза в правоъгълен триъгълник знаем, че $k = \frac{\sqrt{2}ab}{a + b} = ... = \frac{b\sqrt{2}tg\alpha}{tg\alpha + 1}$, откъдето и $b = \frac{k(tg\alpha + 1)}{\sqrt{2}tg\alpha}$, ерго $a = \frac{k(tg\alpha + 1)}{\sqrt{2}}$. Така вече си изразихме двете бедра, остана височината на пирамидата. За целта отбелязваме, че $k$ е хипотенуза в равнобедрения правоъгълен $\triangle CLN$, следователно $NL = \frac{k}{\sqrt{2}}$ и по определението за тангенс имаме $tg\beta = \frac{h}{NL} \Rightarrow h = \frac{ktg\beta}{\sqrt{2}}$. Сега останаха само финалните сметки:
$V = \frac{Bh}{3} = \frac{abh}{6} = \frac{k^2(tg\alpha + 1)^2.ktg\beta}{2\sqrt{2}tg\alpha.6} = \frac{\sqrt{2}k^3(tg\alpha + 1)^2tg\beta}{24tg\alpha}$