Вписана сфера

[S.B.]

Центърът на сфера,вписана в правилна триъгълна пирамида,разделя височината й в отношение $m : n$,считано от върха й.
а) Да се намери отнощението $m : n$ ,ако частите ,на които пирамидата се разделя от равнина,минаваща през единия от основните й ръбове и центъра на сферата са равнообемни;
б) Да се намери ъгълът между две околни стени на пърамидата,ако [tex]m : n = \sqrt{3} : 1[/tex].

[S.B.]

Без заглавие (87).png (330.29 KiB) Прегледано 537 пъти

Явно никой не желае да даде решение на задачата,за това аз ще предложа моето решение:
а)$QO : HO = m:n,V_{ABCM } = V_{ABMQ } = \frac{1}{2}V_{ABCQ }$
$V_{ABCQ } = \frac{1}{3}B_{ABC }.HQ , V_{ABCM } = \frac{1}{3}B_{ABC }.MN$
$V_{ABCM } = \frac{1}{2}V_{ABCQ } \Rightarrow MN = \frac{1}{2}QH$ , но $MN || QH$ ,[tex]\Rightarrow MN[/tex] е средна отс. в $ \triangle CQH$ и $CN = NH$
Но $PC$ е медиана в [tex]\triangle ABC , H[/tex] е медицентър [tex]\Rightarrow PH = HN = NC[/tex]
тогава и $OH $ е средна отс. в $\triangle PNM$ и $OH = \frac{1}{2}MN = \frac{1}{4} QH$ ,
но $OH = n \Rightarrow n = \frac{1}{4 }. QH,m = \frac{3}{4}.QH \Rightarrow m:n = 3 : 1$
б)$m :n = \sqrt{3} :1$ търси се двустенния ъгъл между две околни стени;
Нека основния ръб на пирамидата бележим с $a$ , тогава медианата $CP = \frac{a\sqrt{3}}{2} ,PH = \frac{a\sqrt{3}}{6}$
Разглеждам $\triangle PHQ$ : Понеже $PO$ е ъглополовяща, $\frac{PQ}{PH} = \frac{m}{n} = \frac{\sqrt{3}}{1} \Rightarrow PQ = PH.\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6}.\sqrt{3} \Rightarrow PQ = \frac{a}{2}$
Т.е. в $\triangle ABQ , PQ = \frac{AB}{2} \Rightarrow \triangle ABQ$ е равнобедрен ,правоъгълен триъгълник.
Оказва се,че околните стени са еднакви равнобедрени правоъгълни триъгълници.Тогава тристенният ъгъл образуван от тях е прав [tex]\Rightarrow[/tex] и двустенният ъгъл между две околни стени е $90^\circ$